Непрерывно дифференцируемая функция f : R → ( 0 , + ∞ ) f:R→(0,+∞) такова, что произведение f ( x ) f ( y ) f(x)f(y) постоянно на любой окружности x 2 + y 2 = r 2 x 2 +y 2 =r 2 .…

Для решения задачи воспользуемся свойством, что произведение \( f(x)f(y) \) постоянно на любой окружности \( x^2 + y^2 = r^2 \). Это означает, что значения функции \( f \) зависят только от радиус-вектора, а не от угла. То есть, мы можем предположить, что функция \( f \) зависит только от расстояния от начала координат:

\[ f(x, y) = g(\sqrt{x^2 + y^2}), \] где \( g \) — некоторая функция, зависящая только от радиуса.

Теперь, при фиксированном радиусе \( r \) мы можем записать условие:

\[ f(x)f(y) = C, \] где \( C \) — некоторый константный коэффициент, который не зависит от выбранных \( x \) и \( y \).

Далее, обратим внимание на конкретные значения функции: \( f(0) = e^{-1} \) и \( f(3) = e^{8} \).

Пусть \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \). Тогда, на окружности с радиусом \( r \), можно выразить это равенство в виде:

\[ f(r)^2 = C. \]

Отсюда видим, что \( f(r) \) может быть представлена в виде:

\[ f(r) = k \cdot e^{kr^2}, \] где \( k \) — некоторая константа.

Используя заданные значения, мы можем найти эту константу. Подставим \( r = 0 \):

\[ f(0) = k \cdot e^{k \cdot 0^2} = k = e^{-1}. \]

Теперь, подставляя \( r = 3 \):

\[ f(3) = e^{-1} \cdot e^{k \cdot 3^2} = e^{-1} \cdot e^{9k}. \]

Для этого случая имеем:

\[ e^{8} = e^{-1} \cdot e^{9k}. \]

Теперь приравняем показатели:

\[ 8 = -1 + 9k, \]

отсюда

\[ 9k = 9, \] то есть \( k = 1 \).

Таким образом, функция принимает вид:

\[ f(r) = e^{-1} \cdot e^{r^2}. \]

Теперь мы можем найти \( f(2) \):

\[ f(2) = e^{-1} \cdot e^{2^2} = e^{-1} \cdot e^4 = e^{3}. \]

Теперь необходимо округлить значение \( f(2) \) до двух знаков после запятой. Приблизительно \( e \approx 2.71828 \), тогда \( e^3 \approx 20.0855 \).

Таким образом, \( f(2) \approx 20.09 \).

Ответ: \( 20.09 \).