Найдите количество пар действительных чисел ( a , b ) (a,b), для которых верно равенство ( a − b b a ) 550 = ( 1 0 0 1 ) . ( a b −b a ) 550 =( 1 0 0 1 ).

Чтобы решить уравнение

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} ^{550} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \]

мы начнем с анализа матрицы

\[ M = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}. \]

Для удобства можно выразить матрицу \( M \) в виде \( M = aI + bJ \), где \( I \) — это единичная матрица, а \( J \) — матрица с элементами \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \).

Следует заметить, что матрица \( J \) является вращательной матрицей с углом \( \frac{\pi}{2} \). Мы можем вычислить её квадрат:

\[ J^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I. \]

Таким образом, \( J^4 = I \).

Теперь найдем собственные значения матрицы \( M \) через характеристический полином:

\[ \det(M - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ -b & a - \lambda \end{pmatrix} = (a - \lambda)^2 + b^2. \]

Решение \( (a - \lambda)^2 + b^2 = 0 \) даст \( \lambda = a \pm bi \). Это означает, что собственные значения — комплексные. Для \( M^{550} = I \) необходимо, чтобы собственные значения удовлетворяли условию: \( \lambda_1^{550} = 1\) и \( \lambda_2^{550} = 1\), что подразумевает, что \( \lambda_1\) и \( \lambda_2\) должны быть корнями единицы.

Таким образом, \( a + bi \) и \( a - bi \) должны лежать на единичной окружности. Из этого следует, что:

\[ a^2 + b^2 = 1. \]

Количество решений для \( (a, b) \), удовлетворяющих этому уравнению, можно получить, рассматривая все пары \((a, b)\) на окружности радиуса 1. Поскольку \( a \) и \( b \) являются действительными числами и могут принимать любые значения, соблюдая это уравнение, количество пар \((a, b)\) бесконечно.

Ответ: Бесконечное количество пар действительных чисел \( (a, b) \), для которых верно данное равенство.