Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 42 корень из двух . Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в квадрат, можно использовать связь между радиусом описанной окружности \( R \) и радиусом вписанной окружности \( r \).

Известно, что радиус окружности, описанной около квадрата, равен \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \), где \( a \) — сторона квадрата. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен \( r = \frac{a}{2} \).

В нашем случае:

\[ R = 42 \sqrt{2} \]

Сначала найдем сторону квадрата \( a \):

\[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \implies 42 \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 84 \sqrt{2} = a \sqrt{2} \]

Теперь разделим обе стороны на \( \sqrt{2} \):

\[ a = 84 \]

Теперь найдём радиус вписанной окружности \( r \):

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{84}{2} = 42 \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен \( 42 \).