Известны координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD (вершины перечислены по часовой стрелке): A (−5; −2) и C (1; 4). Найдите координаты двух других вершин.
Для нахождения координат двух других вершин квадрата ABCD, зная координаты двух противолежащих вершин A и C, необходимо использовать следующие шаги.
Координаты вершин A и C:
- A (-5, -2)
- C (1, 4)
Находим центр квадрата: Центр квадрата будет находиться на среднем значении координат A и C: \[ O_x = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ O_y = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Таким образом, координаты центра квадрата O (-2, 1).
Вектор AC: Мы также можем найти вектор от A к C: \[ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (1 - (-5), 4 - (-2)) = (6, 6) \]
Найдём вектор, перпендикулярный AC: Чтобы определить вектор к другим вершинам B и D, нам нужно его перпендикулярное направление. Если вектор AC имеет координаты (6, 6), перпендикулярные ему векторы могут иметь координаты (6, -6) или (-6, 6).
Открытие координат B и D: Теперь мы можем найти координаты точек B и D, добавив и вычтя перпендикулярный вектор к координатам центра O:
- B = O + \vec{u}, где \vec{u} - перпендикулярный вектор.
- D = O - \vec{u}.
Рассмотрим вектор (6, -6): \[ B = (-2 + 3, 1 - 3) = (1, -2) \quad \text{(умножаем на } \frac{1}{\sqrt{2}} \text{, чтобы получить единичный вектор и затем масштабируем)} \] \[ D = (-2 - 3, 1 + 3) = (-5, 4) \]
Поэтому корректные полученные координаты:
- B (1, -2)
- D (-5, 4)
Эти вычисления подтверждают, что координаты двум другим вершинам квадрата ABCD:
- B (1, -2)
- D (-5, 4)
Так что финальное решение:
- B (1, -2)
- D (-5, 4)
Теперь все координаты вершин квадрата ABCD известны!
