2а/а-5 - 5/а+5 + 2а²/25-а² = решение подробное

Чтобы решить уравнение \( \frac{2a}{a - 5} - \frac{5}{a + 5} + \frac{2a^2}{25 - a^2} \), начнем с упрощения дробей и поиска общего знаменателя.

Исходные дроби:

1. \( \frac{2a}{a - 5} \)
2. \( -\frac{5}{a + 5} \)
3. \( \frac{2a^2}{25 - a^2} \), где \( 25 - a^2 \) можно написать как \( (5 - a)(5 + a) \).

Теперь найдем общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен \( (a - 5)(a + 5)(5 - a)(5 + a) \).

Однако, \( 25 - a^2 = (5 - a)(5 + a) \), что означает, что это тот же выражение, что \( -(a - 5)(a + 5) \). То есть делаем замену:

1. \( 25 - a^2 = -(a^2 - 25) = -(a - 5)(a + 5) \)

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:

1. Для первой дроби:
   \( \frac{2a}{a - 5} \) умножим на \( (a + 5) \):
   \[ \frac{2a (a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} \]

2. Для второй дроби:
   \( -\frac{5}{a + 5} \) умножим на \( (a - 5) \):
   \[ -\frac{5 (a - 5)}{(a + 5)(a - 5)} \]

3. Для третьей дроби:
   \( \frac{2a^2}{25 - a^2} \) умножим на \( 1 = \frac{-1 \cdot (a - 5)(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} \):
   \[ \frac{-2a^2 (a - 5)(a + 5)}{(25 - a^2)((a - 5)(a + 5))} \]

Теперь можем объединить эти дроби:

\[ \frac{2a(a + 5) - 5(a - 5) - 2a^2}{(a - 5)(a + 5)} \]

И далее упрощаем числитель:

1. Упрощаем \( 2a(a + 5) = 2a^2 + 10a \)
2. Упрощаем \( -5(a - 5) = -5a + 25 \)

Объединяя:

\[ 2a^2 + 10a - 5a + 25 - 2a^2 \]

Теперь сокращаем \( 2a^2 \) и \( -2a^2 \):

\[ (10a - 5a + 25) = 5a + 25 \]

Теперь полное выражение можно записать так:

\[ \frac{5a + 25}{(a - 5)(5 + a)} \]

Затем можно вынести 5 из числителя:

\[ \frac{5(a + 5)}{(a - 5)(5 + a)} \]

Теперь мы видим, что \( 5 + a \) и \( a + 5 \) – это одно и то же. Следовательно, у нас получается окончательный ответ:

\[ \frac{5}{a - 5} \]

Таким образом, итоговое решение уравнения:

\[ \frac{5}{a - 5} \]