"   Найдите наименьшее значение функции y=(x−2)2ex−2y = (x - 2)^2 e^{x - 2} на отрезке [1;4][1; 4]. "

Привет! Давай разберемся с твоим ответом на задание.

Ты указал, что "Ученик не дал ответ на задание", но, как ты уже заметил, правильный ответ на самом деле равен 0. Давай посмотрим, как правильно решить эту задачу.

Правильное решение:

1. Определим функцию: \[y = (x - 2)^2 e^{x - 2}.\]
2. Найдём производную функции:
   • Используя правило произведения, производная будет: \[y' = ((x - 2)^2)' e^{x-2} + (x - 2)^2 (e^{x-2})' = 2(x - 2)e^{x-2} + (x - 2)^2 e^{x-2}.\]
   • Упрощая, получим: \[y' = e^{x - 2} (x - 2) (2 + x - 2) = e^{x - 2} (x - 2) x.\]
3. Находим критические точки: Ставим производную равной нулю: \[e^{x - 2} (x - 2) x = 0.\] Это уравнение выполняется, когда:
   • \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\),
   • \(x = 0\) (но это не входит в наш отрезок \([1; 4]\)).
4. Теперь проверим значение функции на границах отрезка и в критической точке:
   • \(y(1) = (1 - 2)^2 e^{1 - 2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}\).
   • \(y(2) = (2 - 2)^2 e^{2 - 2} = 0 \cdot 1 = 0\).
   • \(y(4) = (4 - 2)^2 e^{4 - 2} = 2^2 e^{2} = 4e^{2}.\)

Сравнивая \(y(1)\), \(y(2)\), \(y(4)\):

• \(y(1) = \frac{1}{e} \approx 0.3679,\)
• \(y(2) = 0,\)
• \(y(4) = 4e^{2} > 0.\)

Наименьшее значение функции на отрезке \([1; 4]\) действительно 0, и оно достигается в точке \(x = 2\).

Почему твой ответ был неправильным:

Судя по всему, не было произведено анализа значений функции. Возможно, ты просто не заметил, что не указал ответ. Важно всегда проверять все точки, включая границы формируемого отрезка.

Если у тебя есть вопросы или что-то непонятно, обязательно спроси! Также, пожалуйста, оцени мой ответ: поставь лайк или дизлайк.