Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 16 шт., из которых с повидлом 7 шт.X-количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. найди…

Чтобы найти дисперсию случайной величины \( X \), которая представляет собой количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков, начнем с определения некоторых параметров.

Обозначим:

• \( N = 16 \) — общее количество пирожков,
• \( K = 7 \) — количество пирожков с повидлом.

Сначала найдем вероятность выбора пирожка с повидлом.

Шаг 1: Вероятности

Вероятность \( P \) того, что среди двух выбранных пирожков оба окажутся с повидлом, можно найти с помощью биномиального распределения. Для двух выбираемых пирожков \( X \) может принимать значения 0, 1 или 2, и вероятности будут следующими:

1. Вероятность \( P(X = 0) \) — оба пирожка не с повидлом: \[ P(X = 0) = \frac{\binom{K}{0} \cdot \binom{N-K}{2}}{\binom{N}{2}} = \frac{1 \cdot \binom{9}{2}}{\binom{16}{2}} = \frac{1 \cdot 36}{120} = \frac{36}{120} = 0.3 \]

2. Вероятность \( P(X = 1) \) — один пирожок с повидлом и один без: \[ P(X = 1) = \frac{\binom{K}{1} \cdot \binom{N-K}{1}}{\binom{N}{2}} = \frac{7 \cdot 9}{120} = \frac{63}{120} = 0.525 \]

3. Вероятность \( P(X = 2) \) — оба пирожка с повидлом: \[ P(X = 2) = \frac{\binom{K}{2}}{\binom{N}{2}} = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{16}{2}} = \frac{21}{120} = 0.175 \]

Теперь у нас есть вероятности:

• \( P(X = 0) = 0.3 \)
• \( P(X = 1) = 0.525 \)
• \( P(X = 2) = 0.175 \)

Шаг 2: Математическое ожидание

Теперь найдем математическое ожидание \( E(X) \): \[ E(X) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.525 + 2 \cdot 0.175 = 0 + 0.525 + 0.35 = 0.875 \]

Шаг 3: Найдем дисперсию \( D(X) \)

Дисперсия рассчитывается по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.525 + 2^2 \cdot 0.175 = 0 + 0.525 + 0.7 = 1.225 \]

Теперь мы можем рассчитать дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.225 - (0.875)^2 = 1.225 - 0.765625 = 0.459375 \]

Ответ

Округляем до сотых: \[ D(X) \approx 0.46 \]

Таким образом, дисперсия случайной величины \( X \) составляет примерно \( 0.46 \).