И
Привет! Давай разберёмся с заданиями.
Задание 7. Найдите значение выражения.
a) \(\sqrt{19-8\sqrt{3}} + \sqrt{19 + 8\sqrt{3}}\)
Чтобы найти значение выражения, заметим, что сумма двух таких корней может быть выражена через корни квадратных трёхчленов.
Обозначим:
- \(a = \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}\)
- \(b = \sqrt{19 + 8\sqrt{3}}\)
Тогда \(a^2 + b^2 = (19 - 8\sqrt{3}) + (19 + 8\sqrt{3}) = 38\).
Также известно, что \(ab = \sqrt{(19 - 8\sqrt{3})(19 + 8\sqrt{3})} = \sqrt{361 - (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{361 - 192} = \sqrt{169} = 13\).
Теперь можно выразить \(a+b\) через сумму и произведение: \[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 38 + 2 \cdot 13 = 64 \]
Извлекаем корень: \[ a+b = \pm \sqrt{64} = 8 \]
Итак, значение выражения равно 8.
Задание 8. Найдите область определения функции.
Каждую функцию нужно изучать отдельно:
a) \(y = \sqrt{2x + 16}\)
- Под подкоренным выражением только положительные числа и ноль. Чтобы это соблюдалось, \(2x + 16 \geq 0\).
- Решаем неравенство: \(2x \geq -16\), значит, \(x \geq -8\).
b) \(y = \sqrt{6x - 12}\)
- Чтобы извлечь корень, \(6x - 12 \geq 0\).
- Решаем: \(6x \geq 12\), \(x \geq 2\).
r) \(y = \sqrt{x + 3} + \frac{5}{\sqrt{x + 3}}\)
- Поскольку корень и знаменатель подкоренного выражения должны быть больше нуля, имеем \(x + 3 > 0\).
- Решаем: \(x > -3\).
t) \(y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{10 - 2x}\)
- Подкоренные выражения должны быть неотрицательны: \(x - 3 \geq 0\) и \(10 - 2x \geq 0\).
- Решаем две системы:
- \(x \geq 3\) и \(10 \geq 2x\) → \(x \leq 5\).
Область определения: \(-3 < x \leq 5\).
Надеюсь, это поможет! Если что-то непонятно, пиши!
