На фестивале детям раздавали конфеты – каждому по 13. В конце фестиваля организаторы посчитали количество оставшихся конфет. Их оказалось ровно 1313. Также организаторы вычислили, что если бы каждому ребёнку раздавали по 14 конфет, то ровно один ребенок не смог бы получить 14, ему досталось бы меньше 8, но больше двух конфет. Сколько детей могло быть на фестивале?
Обозначим количество детей на фестивале как \( n \).
Сначала рассчитаем количество конфет, которые были изначально. Если каждому ребенку раздавали по 13 конфет, а в конце осталось 1313 конфет, то общее количество конфет можно выразить следующим образом:
\[ 13n + 1313 \]
Теперь, если бы каждому ребенку раздавали по 14 конфет, то общая потребность в конфетах была бы \( 14n \). По условию задачи, один ребенок не получил бы 14 конфет и получил бы меньше 8, но больше 2 конфет. Следовательно, количество детей, которые получили 14 конфет, составило бы \( n - 1 \).
Таким образом, если бы \( n - 1 \) детей получили по 14 конфет, а один ребенок получил \( k \) конфет (где \( 3 \leq k < 8 \)), то мы можем записать уравнение:
\[ 14(n - 1) + k = 13n + 1313 \]
Теперь упростим это уравнение:
\[ 14n - 14 + k = 13n + 1313 \] \[ 14n - 13n + k = 1313 + 14 \] \[ n + k = 1327 \]
Теперь подставим возможные значения для \( k \):
Если \( k = 3 \): \[ n + 3 = 1327 \implies n = 1324 \]
Если \( k = 4 \): \[ n + 4 = 1327 \implies n = 1323 \]
Если \( k = 5 \): \[ n + 5 = 1327 \implies n = 1322 \]
Если \( k = 6 \): \[ n + 6 = 1327 \implies n = 1321 \]
Если \( k = 7 \): \[ n + 7 = 1327 \implies n = 1320 \]
Теперь у нас есть возможные значения \( n \):
- 1320
- 1321
- 1322
- 1323
- 1324
Таким образом, количество детей, которое могло быть на фестивале, может составлять 1320, 1321, 1322, 1323 или 1324.
