Задача 1 (20 баллов) Петя на листке в тетради отметил несколько точек, причём, любые три точки не лежат на одной прямой. Затем каждые две точки соединил отрезками и посчитал…
Задача 1 (20 баллов) Петя на листке в тетради отметил несколько точек, причём, любые три точки не лежат на одной прямой. Затем каждые две точки соединил отрезками и посчитал количество полученных отрезков. Оказалось, что количество отрезков в 7 раз больше числа точек. Сколько точек отметил Петя? Задача 2 (20 баллов) Две бригады в фермерском хозяйстве копали картофель. Работая вместе, бригады выкопали картофель с поля за 6 часов. Если бы первая бригада работала в два раза медленнее, а вторая бригада - в три раза быстрее, то они выкопали бы картофель с такого же поля за 4 часа. сколько часов выкопала бы картофель с такого же поля вторая бригада, работая одна? Задача 3 (20 баллов) Два спортсмена стартовали одновременно и от стартовой линии побежали в одну сторону. Один из них пробегает полный круг по стадиону за 1 40 секунд, а второй - за 50 секунд. Длина круга 400 метров. Через сколько секунд они опять окажутся вместе?
Задача 1: Давайте обозначим количество точек, которые отметил Петя, как \( n \). Количество отрезков, соединяющих любые две точки, рассчитывается по формуле \( \frac{n(n-1)}{2} \), где \( n(n-1) \) — количество пар точек. Условия задачи говорят, что количество отрезков в 7 раз больше, чем количество точек, то есть:
\[ \frac{n(n-1)}{2} = 7n. \]
Перепишем это уравнение, умножив обе стороны на 2:
\[ n(n-1) = 14n. \]
Теперь упростим его:
\[ n^2 - 15n = 0. \]
Факторизуем:
\[ n(n - 15) = 0. \]
Это уравнение дает два корня: \( n = 0 \) и \( n = 15 \). Поскольку количество точек не может быть нулевым, мы получаем, что Петя отметил 15 точек.
Задача 2: Обозначим время, которое вторая бригада затрачивает на выкопку картофеля одна, как \( x \) часов. Тогда первая бригада, работающая в два раза медленнее, будет работать \( 2x \) часов. Скорости бригад, которые мы можем выразить через производительность, будут:
- Первая бригада: \( \frac{1}{2x} \) (в 1 час она копает \( \frac{1}{2x} \) поля),
- Вторая бригада: \( \frac{1}{x} \).
Когда они работают вместе, их общая скорость:
\[ \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{3}{2x}. \]
По условию задачи, они выкапывают картофель за 6 часов:
\[ \frac{3}{2x} \cdot 6 = 1. \]
Решим это уравнение:
\[ \frac{3 \cdot 6}{2x} = 1 \Rightarrow 18 = 2x \Rightarrow x = 9. \]
Теперь у нас есть \( x \). Вторая бригада, работающая одна, копает картофель за 9 часов.
Задача 3: Первый спортсмен пробегает полный круг за 1 минуту 40 секунд, что равняется 100 секундам. Второй спортсмен пробегает полный круг за 50 секунд. Определим их скорости:
- Скорость первого спортсмена: \( \frac{400 \text{ м}}{100 \text{ сек}} = 4 \text{ м/с} \),
- Скорость второго спортсмена: \( \frac{400 \text{ м}}{50 \text{ сек}} = 8 \text{ м/с} \).
Чтобы определить, когда они снова встретятся, нам нужно найти время \( t \), после которого они оба пробежали целое число кругов. Пусть за это время первый спортсмен пробежит \( x \) кругов, а второй — \( y \) кругов. Тогда:
\[ 4t = 400x \Rightarrow t = 100x, \] \[ 8t = 400y \Rightarrow t = 50y. \]
Теперь приравняем два выражения для \( t \):
\[ 100x = 50y \Rightarrow 2x = y \Rightarrow y = 2x. \]
То есть, когда первый спортсмен пробежит 1 круг (1 раз), второй поручит 2 круга (2 раза).
Теперь мы можем найти время, через которое они встретятся:
Выбираем минимальное \( x \) равное 1, тогда:
\[ t = 100 \cdot 1 = 100 \text{ секунд}. \]
Таким образом, они снова окажутся вместе через 100 секунд.
