На рисунке изображён прямоугольник ABCD . Точки K, L , M , N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать…

Для решения данной задачи начнём с анализа геометрической конфигурации.

Дано, что ABCD — это прямоугольник. Предположим, стороны прямоугольника AB и CD имеют длину \(a\), а стороны AD и BC — длину \(b\). Точки K, L, M и N — середины сторон прямоугольника. Таким образом, можно записать координаты этих точек:

• K (середина AB) — \( (a/2, 0) \)
• L (середина BC) — \( (a, b/2) \)
• M (середина CD) — \( (a/2, b) \)
• N (середина AD) — \( (0, b/2) \)

После определения координат, можно описать треугольник LMN. Его вершины — это точки L, M и N с координатами:

• L: \( (a, b/2) \)
• M: \( (a/2, b) \)
• N: \( (0, b/2) \)

Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN, необходимо вычислить площади треугольника LMN и прямоугольника ABCD.

Площадь прямоугольника ABCD: \[ S_{rect} = a \times b \]

Площадь треугольника LMN: Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту} \]

В данном случае основание LM можно взять равным \(a\), а высоту — расстояние от точки N до линии LM. Высота будет равна \(b/2\), так как N расположена на середине стороны AD, которая параллельна стороне BC.

Таким образом, подставляя значения, получим: \[ S_{triangle} = \frac{1}{2} \times a \times \left(\frac{b}{2}\right) = \frac{ab}{4} \]

Теперь можно найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN: \[ P = \frac{S_{triangle}}{S_{rect}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD принадлежит треугольнику LMN, равна \( \frac{1}{4} \) или 25%.