Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения

Привет! Давай разберём, как найти наименьшее и наибольшее значение выражения.

У нас есть выражение:

\[ \frac{1}{3 \sin^2 t + 4 \cos^2 t} \]

1. Упростим знаменатель:

   Мы знаем, что \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\). Обозначим \(\sin^2 t = x\). Тогда \(\cos^2 t = 1 - x\).

   Знаменатель становится: \[ 3x + 4(1 - x) = 3x + 4 - 4x = 4 - x \]

2. Найдём значения \( x \):

   Поскольку \( \sin^2 t \) и \(\cos^2 t\) находятся в пределах от 0 до 1, то и \( x \) меняется от 0 до 1.

3. Исследуем выражение:

   Выражение становится: \[ \frac{1}{4 - x} \]

   Чтобы найти наибольшее значение, нужно \( (4 - x) \) минимизировать, то есть, когда \( x \) максимален. Поэтому \( x = 1 \), тогда: \[ 4 - x = 3 \Rightarrow \frac{1}{3} \]

   Для наименьшего плотность \( x \) минимизировать, так что \( x = 0 \), тогда: \[ 4 - x = 4 \Rightarrow \frac{1}{4} \]

4. Ответ:

   Наибольшее значение: \( \frac{1}{3} \).

   Наименьшее значение: \( \frac{1}{4} \).

Вот и всё! Если что-то непонятно, пиши.