Найдите все корни уравнения :sinx=1/2, принадлежащая отрезку - 3п/2; п/2
Чтобы найти все корни уравнения \(\sin x = \frac{1}{2}\) на отрезке \(-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\), начнем с определения общего решения уравнения \(\sin x = \frac{1}{2}\).
Знаем, что синус равен \( \frac{1}{2} \) при следующих углах:
- \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) (в первом квадранте)
- \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) (в втором квадранте)
где \( k \) — любое целое число.
Теперь нам нужно найти такие \( x \) в заданном интервале. Отрезок \(-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\).
Рассмотрим первое решение: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] Подставим \( k = -1 \): \[ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \] Подставим \( k = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{6} \] Это значение попадает в интервал.
Рассмотрим второе решение: \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] Подставим \( k = -1 \): \[ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \] Это значение также попадает в интервал.
Теперь соберем все найденные корни:
- \(-\frac{11\pi}{6}\)
- \(\frac{\pi}{6}\)
- \(-\frac{7\pi}{6}\)
Проверим их в интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\):
- \(-\frac{11\pi}{6} \approx -5.76\) (принадлежит)
- \(\frac{\pi}{6} \approx 0.52\) (принадлежит)
- \(-\frac{7\pi}{6} \approx -3.67\) (принадлежит)
Таким образом, все корни уравнения \(\sin x = \frac{1}{2}\) на отрезке \(-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\) равны: \[-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}.\]
