4^x-2^x<12
Чтобы решить неравенство \( 4^x - 2^x < 12 \), сначала упростим его. Заметим, что \( 4^x \) можно записать как \( (2^2)^x = (2^x)^2 \). Таким образом, мы можем подставить:
\( 4^x = (2^x)^2 \).
Теперь перепишем неравенство:
\[ (2^x)^2 - 2^x < 12. \]
Далее, введем новую переменную: пусть \( y = 2^x \). Это преобразует неравенство в:
\[ y^2 - y < 12. \]
Теперь перенесем 12 влево:
\[ y^2 - y - 12 < 0. \]
Следующий шаг — решить квадратное уравнение \( y^2 - y - 12 = 0 \) для нахождения корней. Используем формулу для корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -12 \).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49. \]
Теперь подставим в формулу:
\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}. \]
Это дает два решения:
- \( y_1 = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \) (отрицательное значение не подходит, так как \( y = 2^x > 0 \))
Теперь у нас есть значение \( y = 4 \). Возвращаемся к неравенству:
\[ y^2 - y - 12 < 0 \]
Ищем, где это неравенство выполняется. Его корни — 4 и отрицательное значение, но мы интересуемся положительными. Теперь проверьте знаки в интервалах, ограниченных корнями:
- Для \( y < 4 \), например, \( y = 2 \):
\[ 2^2 - 2 - 12 = 4 - 2 - 12 = -10 < 0 \quad (\text{выполняется}) \]
- Для \( y > 4 \), например, \( y = 5 \):
\[ 5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0 \quad (\text{не выполняется}) \]
Таким образом, неравенство \( y^2 - y - 12 < 0 \) выполняется для \( 0 < y < 4 \).
Теперь перейдем обратно к переменной \( y = 2^x \):
\[ 0 < 2^x < 4. \]
Преобразуем это неравенство:
\[ 2^x < 4 = 2^2 \quad \Rightarrow \quad x < 2. \]
Поскольку \( 2^x > 0 \) для всех \( x \), мы можем сказать, что:
\[ x < 2. \]
Таким образом, решение неравенства \( 4^x - 2^x < 12 \) будет:
\[ x < 2. \]
