Найди область определения функции y= √x(4x+16)(x+5) .

Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{x(4x + 16)(x + 5)} \), необходимо определить, при каких значениях \( x \) подкоренное выражение неотрицательно, так как квадратный корень определен только для неотрицательных чисел.

1. Рассмотрим подкоренное выражение: \( x(4x + 16)(x + 5) \).

2. Найдем, когда это выражение больше или равно нулю:

   • \( x \geq 0 \) (первый множитель).
   • \( 4x + 16 = 0 \) можно решить: \( 4x = -16 \) → \( x = -4 \).
   • \( x + 5 = 0 \) можно решить: \( x = -5 \).

Теперь определим знаки каждого множителя:

• Множитель \( x \) меняет знак при \( x = 0 \).
• Множитель \( 4x + 16 \) всегда положителен, так как он меняет знак только при \( x = -4 \), а для \( x \geq 0 \) будет положительным.
• Множитель \( x + 5 \) меняет знак при \( x = -5 \).

Теперь составим интервалы:

1. \( (-\infty, -5) \): здесь все три множителя отрицательны, произведение положительное.
2. \( (-5, -4) \): первый множитель отрицателен, второй и третий - положительны, произведение отрицательное.
3. \( (-4, 0) \): первый множитель отрицателен, два других положительны, произведение отрицательное.
4. \( [0, +\infty) \): все три множителя положительны, произведение положительное.

Таким образом, подкоренное выражение неотрицательно для \( x \) в интервале:

\[ x \in [0, +\infty) \]

Следовательно, область определения функции \( y = \sqrt{x(4x + 16)(x + 5)} \) равна:

\[ [0, +\infty) \]