(x^2+x)(x^2+x-5)=84
Чтобы решить уравнение \((x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84\), начнем с введения новой переменной для упрощения. Обозначим \(y = x^2 + x\). Тогда наше уравнение можно переписать как:
\[ y(y - 5) = 84. \]
Теперь раскроем скобки:
\[ y^2 - 5y = 84. \]
Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ y^2 - 5y - 84 = 0. \]
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -84\).
Подставим значения:
\[ b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361. \]
Теперь находим \(y\):
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{5 \pm 19}{2}. \]
Это даст два значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{24}{2} = 12\),
- \(y_2 = \frac{-14}{2} = -7\).
Теперь вспомним, что \(y = x^2 + x\). Подставим найденные значения обратно.
- Для \(y_1 = 12\):
\[ x^2 + x - 12 = 0. \]
Решим это уравнение, используя формулу:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}. \]
Это даёт два решения:
- \(x_1 = \frac{6}{2} = 3\),
- \(x_2 = \frac{-8}{2} = -4\).
- Для \(y_2 = -7\):
\[ x^2 + x + 7 = 0. \]
Дискриминант в этом случае:
\[ 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27, \]
что означает, что у этого уравнения нет действительных корней.
Таким образом, итоговые решения уравнения \((x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84\) будут:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -4. \]
