1) В стопке лежат 20 досок, из которых 7 еловых и 13 осиновых. Из стопки одновременно берут 4 доски. Найти вероятность того, что среди выбранных досок будет ровно 2 еловых и 2…

Чтобы решить эту задачу, давайте используем формулу для вычисления вероятности, основанной на комбинировании.

Во-первых, нам нужно определить общее количество способов выбрать 4 доски из 20. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \(n\) — общее количество предметов, а \(k\) — количество выбираемых предметов.

1. Общее количество способов выбрать 4 доски из 20:

\[ C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 \]

2. Теперь найдем количество способов выбрать 2 еловые доски из 7:

\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

3. Затем найдем количество способов выбрать 2 осиновые доски из 13:

\[ C(13, 2) = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78 \]

4. Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 2 еловые и 2 осиновые доски одновременно, мы умножаем количество способов:

\[ C(7, 2) \times C(13, 2) = 21 \times 78 = 1638 \]

5. Наконец, мы можем вычислить вероятность того, что среди выбранных досок будет ровно 2 еловых и 2 осиновых:

\[ P = \frac{C(7, 2) \times C(13, 2)}{C(20, 4)} = \frac{1638}{4845} \]

6. Упростим дробь:

Делим числитель и знаменатель на 3:

\[ P = \frac{546}{1615} \]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных досок будет ровно 2 еловых и 2 осиновых, составляет \(\frac{546}{1615}\).