Несколько пирато делили между собой добычу размером в 1010 монет. Первый взял одну монету, другой две, третий три и каждый последующий брал на монету больше, чем предыдущий. Когда…

Давайте разберем данную задачу по шагам.

Пусть количество пиратов будет \( n \). Первому пирату достается 1 монета, второму — 2 монеты, третьему — 3 монеты и так далее, вплоть до \( n \)-го пирата, который получит \( n \) монет. Это означает, что каждый пират получает на одну монету больше, чем предыдущий.

Суммарное количество монет, которое получают первые \( n \) пиратов (исключая последнего, если после раздачи не хватает монет) можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \]

Из условия мы знаем, что шестой пират получил столько же, сколько и первый. Это значит, что:

\[ 6 = 1 \]

Условие неверно, либо, возможно, мы неправильно поняли задание. Если говорить о равенстве монет, которое пираты получают, то это действительно редкость, но не обязательно это означает, что количество монет у разных пиратов совпадает. Однако, если первый и шестой получил одинаково, то это подразумевает, что все получали одинаково, что не соответствует жестким условиям.

Проведем поиск количества пиратов, чтобы выяснить, сколько всего их было.

Пусть последний пират (или \( n \)-й), забрал все оставшиеся монеты, когда их стало меньше, чем он мог бы взять. Это можно выразить так:

\[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \leq 1010 \]

Теперь, в зависимости от того, сколько монет остается, последний пират забирает их.

Для нахождения максимального \( n \) мы можем решить неравенство:

\[ \frac{n(n + 1)}{2} \leq 1010 \] \[ n(n + 1) \leq 2020 \]

Приблизительно мы можем оценить \( n \) путем нахождения корней уравнения:

\[ n^2 + n - 2020 = 0 \]

Используя формулу решения квадратного уравнения, получаем:

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2020}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{8081}}{2} \]

Приблизительно \( \sqrt{8081} \approx 89.89 \), поэтому

\[ n \approx \frac{-1 + 89.89}{2} \approx 44.44 \]

Следовательно, максимальное целое \( n \) — 44. Теперь подставим \( n = 44 \) в формулу суммы:

\[ S_{44} = \frac{44 \cdot 45}{2} = 990 \]

Если у нас остаются монеты (1010 - 990 = 20), значит, последний пират заберёт все 20 монет.

Теперь можно вычислить количество пиратов, при условии, что первый и шестой получили поровну, и, согласно нахождению, количество пиратов составляет 44.

Таким образом, в задаче было 44 пирата.