4. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - x ^ 2 + 1 y = 0 x = - 1 x = 1

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, начнём с графического отображения этих функций.

1. Рисунок: Нам нужно начертить параболу \( y = -x^2 + 1 \), которая открыта вниз, а её вершина находится в точке \( (0, 1) \). Уравнение \( y = 0 \) соответствует оси \( x \). Линии \( x = -1 \) и \( x = 1 \) — это вертикальные прямые, которые ограничивают фигуру по бокам.

2. Нахождение пересечений: Чтобы определить, с какими значениями \( x \) мы работаем, найдём, где парабола пересекает ось \( x \): \[ -x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ и } x = -1 \] То есть, парабола пересекает ось \( x \) в точках \( (-1, 0) \) и \( (1, 0) \).

3. Определение площади: Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, можно найти, вычислив определённый интеграл: \[ S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) \, dx \]

4. Вычисление интеграла: \[ S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) \, dx = \int_{-1}^{1} (-x^2) \, dx + \int_{-1}^{1} (1) \, dx \] Первый интеграл: \[ \int_{-1}^{1} -x^2 \, dx = \left[-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - \left(-\frac{(-1)^3}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0 \] Второй интеграл: \[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 \]

5. Итоговая площадь: Таким образом, площадь фигуры равна: \[ S = 2 - 0 = 2 \]

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2 + 1 \), \( y = 0 \), \( x = -1 \) и \( x = 1 \), равна \( 2 \).