Одинаковые металлические шарики с зарядами q1=+2 мкКл и q2=+4 мкКл находятся на расстоянии 1м друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. Какое расстояние r2 следует развести шарики, чтобы сила их кулоновского взаимодействия осталось прежней—F1=F2
Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Имеем два металлических шарика с начальными зарядами:
- \( q_1 = +2 \, \mu C \)
- \( q_2 = +4 \, \mu C \)
Шарики находятся на расстоянии \( r_1 = 1 \, m \). Когда металлические шарики касаются друг друга, заряды перераспределяются, и итоговые заряды можно вычислить как среднее арифметическое, так как они равны и проводники:
\[ q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{2 \, \mu C + 4 \, \mu C}{2} = \frac{6 \, \mu C}{2} = 3 \, \mu C \]
После контакта каждый шарик будет иметь заряд \( q' = 3 \, \mu C \).
Теперь, кулоновская сила взаимодействия между двумя зарядами определяется формулой:
\[ F = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
где \( k \) - электрическая постоянная (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2 \)).
Для первоначальной силы при расстоянии \( r_1 = 1 \, m \):
\[ F_1 = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r_1^2} = k \frac{|2 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{-6}|}{1^2} = k \cdot 8 \cdot 10^{-12} \]
Теперь, чтобы сила оставалась прежней при новом расстоянии \( r_2 \), используем новый заряд \( q' = 3 \, \mu C \):
\[ F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r_2^2} = k \frac{|3 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^{-6}|}{r_2^2} = k \frac{9 \cdot 10^{-12}}{r_2^2} \]
Поскольку мы хотим, чтобы \( F_1 = F_2 \):
\[ k \cdot 8 \cdot 10^{-12} = k \frac{9 \cdot 10^{-12}}{r_2^2} \]
Сократив \( k \) и \( 10^{-12} \):
\[ 8 = \frac{9}{r_2^2} \]
Теперь умножаем обе стороны на \( r_2^2 \):
\[ 8r_2^2 = 9 \]
И делим обе стороны на 8:
\[ r_2^2 = \frac{9}{8} \]
Таким образом, извлекая корень:
\[ r_2 = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06 \, m \]
Итак, расстояние \( r_2 \), на которое следует развести шарики, чтобы сила кулоновского взаимодействия осталась прежней, составляет примерно \( 1.06 \, m \).
