Составьте уравнение окружности проходящей через начало координат и и имеющей центр в точке: 1) (-2; 3); 2) (3; -5)
Чтобы составить уравнение окружности, необходимо воспользоваться общей формулой уравнения окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\):
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
В данном случае окружность проходит через начало координат, то есть точку \((0, 0)\). Мы можем использовать эту информацию для нахождения радиуса окружности. Радиус \(r\) будет равен расстоянию от центра окружности до начала координат \((0, 0)\), которое можно найти с помощью формулы расстояния:
\[ r = \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 0)^2} = \sqrt{h^2 + k^2} \]
Теперь давайте составим уравнение окружности для каждой из заданных точек центра.
- Для центра в точке \((-2; 3)\):
- \(h = -2\)
- \(k = 3\)
Сначала находим радиус \(r\):
\[ r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]
Теперь подставляем значения в уравнение окружности:
\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (\sqrt{13})^2 \]
Упрощая, получаем:
\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 \]
- Для центра в точке \((3; -5)\):
- \(h = 3\)
- \(k = -5\)
Находим радиус \(r\):
\[ r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-5 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]
Теперь подставляем в уравнение окружности:
\[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = (\sqrt{34})^2 \]
Упрощая, получаем:
\[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 34 \]
Итак, итоговые уравнения окружностей:
- \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13\)
- \((x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 34\)
