Корень из двух плюс корень из пяти в 4 степени
Чтобы вычислить выражение \( (\sqrt{2} + \sqrt{5})^4 \), можно использовать формулу бинома Ньютона, которая утверждает, что:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
В данном случае, \( a = \sqrt{2} \), \( b = \sqrt{5} \), и \( n = 4 \).
Используя биномиальную формулу, мы можем разложить выражение:
\[ (\sqrt{2} + \sqrt{5})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (\sqrt{2})^{4-k} (\sqrt{5})^k \]
Теперь вычислим каждое слагаемое:
Для \( k = 0 \): \[ \binom{4}{0} (\sqrt{2})^4 (\sqrt{5})^0 = 1 \cdot 2^2 \cdot 1 = 4 \]
Для \( k = 1 \): \[ \binom{4}{1} (\sqrt{2})^3 (\sqrt{5})^1 = 4 \cdot 2^{3/2} \cdot \sqrt{5} = 4 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5} = 8\sqrt{10} \]
Для \( k = 2 \): \[ \binom{4}{2} (\sqrt{2})^2 (\sqrt{5})^2 = 6 \cdot 2 \cdot 5 = 60 \]
Для \( k = 3 \): \[ \binom{4}{3} (\sqrt{2})^1 (\sqrt{5})^3 = 4 \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{5} = 20\sqrt{10} \]
Для \( k = 4 \): \[ \binom{4}{4} (\sqrt{2})^0 (\sqrt{5})^4 = 1 \cdot 1 \cdot 25 = 25 \]
Теперь соберем все слагаемые вместе:
\[ (\sqrt{2} + \sqrt{5})^4 = 4 + 8\sqrt{10} + 60 + 20\sqrt{10} + 25 \]
Объединяя подобные слагаемые:
\[ 4 + 60 + 25 = 89 \quad \text{и} \quad 8\sqrt{10} + 20\sqrt{10} = 28\sqrt{10} \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ (\sqrt{2} + \sqrt{5})^4 = 89 + 28\sqrt{10} \]
Это выражение является результатом. Если у вас есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!
