Докажите, что уравнение x ^ 3 + 5x - 1 = 0 не имеет целых корней.
Чтобы доказать, что уравнение \( x^3 + 5x - 1 = 0 \) не имеет целых корней, можно использовать теорему о целых корнях (или теорему Рауша — Больцано).
Согласно этой теореме, если у уравнения \( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 = 0 \) есть целый корень \( r \), то \( r \) делит свободный член \( a_0 \) (в нашем случае это -1) и коэффициент при старшем члене \( a_n \) (в нашем случае это 1).
Для данного уравнения \( x^3 + 5x - 1 \) имеем:
- Свободный член \( a_0 = -1 \)
- Коэффициент при старшем члене \( a_n = 1 \)
Целые делители -1: \( \pm 1 \).
Теперь подставим все возможные целые значения \( x \) (то есть \( x = 1 \) и \( x = -1 \)) и проверим, выполняется ли равенство:
Для \( x = 1 \): \[ P(1) = 1^3 + 5 \cdot 1 - 1 = 1 + 5 - 1 = 5 \quad (\text{не } 0) \]
Для \( x = -1 \): \[ P(-1) = (-1)^3 + 5 \cdot (-1) - 1 = -1 - 5 - 1 = -7 \quad (\text{не } 0) \]
Таким образом, ни одно из целых значений \( x = 1 \) или \( x = -1 \) не делает уравнение верным. Следовательно, у уравнения \( x^3 + 5x - 1 = 0 \) нет целых корней.
