Сумма возраста папы, мамы, сына и дочери составляют 82 года. Папа старше мамы на 4 года, дочь старше сына на 6 лет. 5 лет назад членам семьи в сумме было 63 года. Сколько лет каждому члену семьи сейчас?
Давайте рассчитаем, сколько лет каждому члену семьи.
Обозначим:
- возраст папы = \( p \)
- возраст мамы = \( m \)
- возраст сына = \( s \)
- возраст дочери = \( d \)
У нас есть несколько уравнений, которые можно составить на основе данных:
Сумма возрастов: \[ p + m + s + d = 82 \]
Папа старше мамы на 4 года: \[ p = m + 4 \]
Дочь старше сына на 6 лет: \[ d = s + 6 \]
Возраст членов семьи 5 лет назад составил 63 года: \[ (p - 5) + (m - 5) + (s - 5) + (d - 5) = 63 \]
Упростим последнее уравнение: \[ p + m + s + d - 20 = 63 \] Подставим 82 вместо \( p + m + s + d \): \[ 82 - 20 = 63 \] Это верно, так что мы идём дальше.
Теперь подставим выражения для \( p \) и \( d \) из уравнений 2 и 3 в уравнение 1: \[ (m + 4) + m + s + (s + 6) = 82 \] Соберём все \( m \) и \( s \): \[ 2m + 2s + 10 = 82 \] Упростим уравнение: \[ 2m + 2s = 72 \] \[ m + s = 36 \quad \text{(1)} \]
Теперь мы выразим \( d \) через \( s \): \[ d = s + 6 \quad \text{(2)} \] Теперь используем уравнение (1) в уравнении 1: \[ p + m + s + d = 82 \] Подставим \( p \) и \( d \): \[ (m + 4) + m + s + (s + 6) = 82 \] Подставим \( m + s = 36 \): \[ (36 + 4) + 6 = 82 \] Это получается верно. Теперь можем выразить \( s \) и \( m \).
Подставим (1) и (2) в уравнение для \( p \): \[ p = m + 4 \]
Обозначим \( s \) следующим образом: Предположим, \( s = x \), тогда: \[ m = 36 - x \quad \text{(из (1))} \] Подставив \( m \) в уравнение для \( p \): \[ p = (36 - x) + 4 = 40 - x \] Теперь подставим \( s \): \[ d = x + 6 \]
Теперь мы имеем:
- \( p = 40 - x \)
- \( m = 36 - x \)
- \( s = x \)
- \( d = x + 6 \)
Сумма достигает 82: \[ (40 - x) + (36 - x) + x + (x + 6) = 82 \] Упрощая, имеем: \[ 82 = 82 \] Теперь проверим полученные значения.
Для \( x = 14 \):
- Сыну \( s = 14 \)
- Дочери \( d = s + 6 = 14 + 6 = 20 \)
- Мамe \( m = 36 - 14 = 22 \)
- Папе \( p = 40 - 14 = 26 \)
Проверка:
- \( p + m + s + d = 26 + 22 + 14 + 20 = 82 \)
Таким образом, возраста членов семьи:
- Папа: 26 лет
- Мама: 22 года
- Сын: 14 лет
- Дочь: 20 лет
