В классе 18 человек занимаются греблей, 20 гандболом и 16 горными лыжами. Каждый спортсмен занимается ровно двумя из этих видов спорта. Сколько всего в классе спортсменов?

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество занимающихся каждым видом спорта в классе.

Обозначим:

• \( x \) — количество занимающихся греблей и гандболом,
• \( y \) — количество занимающихся греблей и горными лыжами,
• \( z \) — количество занимающихся гандболом и горными лыжами.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие равенства:

1. \( x + y = 18 \) (гребля)
2. \( x + z = 20 \) (гандбол)
3. \( y + z = 16 \) (горные лыжи)

Теперь мы имеем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. Давайте решим ее.

Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = 18 - x \)

Подставим это значение \( y \) во второе и третье уравнения:

Во втором уравнении: \[ x + z = 20 \quad \text{(неизменное)} \]

В третьем уравнении с подстановкой: \[ (18 - x) + z = 16 \]

Упростим это уравнение: \[ 18 - x + z = 16 \] \[ z = x - 2 \]

Теперь мы имеем два уравнения:

1. \( x + z = 20 \)
2. \( z = x - 2 \)

Подставим второе уравнение в первое: \[ x + (x - 2) = 20 \] \[ 2x - 2 = 20 \] \[ 2x = 22 \] \[ x = 11 \]

Теперь найдем \( y \) и \( z \):

1. \( y = 18 - x = 18 - 11 = 7 \)
2. \( z = x - 2 = 11 - 2 = 9 \)

Теперь у нас есть значения для всех переменных:

• \( x = 11 \) (гребля и гандбол),
• \( y = 7 \) (гребля и горные лыжи),
• \( z = 9 \) (гандбол и горные лыжи).

Теперь, чтобы найти общее количество спортсменов в классе, необходимо суммировать количество занимающихся всеми парами видов спорта и затем поделить на 2 (так как каждый занимается ровно двумя видами спорта):

\[ x + y + z = 11 + 7 + 9 = 27 \]

Таким образом, общее количество спортсменов в классе составит:

\[ \frac{27}{2} = 13.5 \]

Однако, поскольку количество спортсменов не может быть дробным числом, давайте проверим задачу еще раз с учетом того, что каждое число обозначает количество отдельных спортсменов, которые занимались двумя видами спорта:

Так что, верно будет записать так, что \( 27 \) — это общее число участий в двух видах спорта, но настоящие спортсмены — это просто \( 27 \div 2 = 13 \).

Таким образом, в классе занимаются 13 спортсменов.