в треугольнике АВС угол С=90,cos A=4/5, ВС=6. Найдите В

В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) равен \( 90^\circ \), что делает его прямоугольным. Дано, что \( \cos A = \frac{4}{5} \) и длина стороны \( BC = 6 \). Нам нужно найти сторону \( AB \).

Сначала вспомним определение косинуса для угла в прямоугольном треугольнике: \[ \cos A = \frac{adjacent}{hypotenuse} \] Где:

• \( adjacent \) — прилежащая сторона к углу \( A \) (в нашем случае это сторона \( AC \)),
• \( hypotenuse \) — гипотенуза (в нашем треугольнике это сторона \( AB \)).

Из условия \( \cos A = \frac{4}{5} \) можно записать: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} \]

Обозначим длину гипотенузы \( AB \) как \( x \). Тогда можно выразить сторону \( AC \): \[ AC = \frac{4}{5}x \]

Используя теорему Пифагора в треугольнике, мы получаем: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ x^2 = \left(\frac{4}{5}x\right)^2 + 6^2 \] Решим уравнение: \[ x^2 = \frac{16}{25}x^2 + 36 \]

Переносим все влево: \[ x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 36 \] \[ \left(1 - \frac{16}{25}\right)x^2 = 36 \] \[ \frac{9}{25}x^2 = 36 \]

Теперь умножим обе стороны на \( \frac{25}{9} \): \[ x^2 = 36 \cdot \frac{25}{9} \] \[ x^2 = 100 \] \[ x = 10 \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( 10 \).

Финальный ответ: Сторона \( AB = 10 \).