Сфера задана уравнением икс во 2 + игрек во 2 + зет во 2-4 икс + 6 игрек равен 36. найдите координаты центра и радиус сферы.
Чтобы найти центр и радиус сферы, заданной уравнением \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 36\), сначала необходимо преобразовать это уравнение в стандартный вид уравнения сферы.
Стандартное уравнение сферы имеет вид:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2, \]
где \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты центра сферы, а \(r\) — радиус.
В данном уравнении мы видим квадратичные выражения по \(x\) и \(y\), и необходимо сгруппировать их корректно.
- Преобразуем уравнение:
Начнем с уравнения:
\[ x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 = 36. \]
Далее можно выделить полный квадрат для \(x\) и \(y\).
- Выделим полный квадрат для \(x\):
\[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4. \]
- Выделим полный квадрат для \(y\):
\[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9. \]
- Подставим в уравнение:
\[ ((x - 2)^2 - 4) + ((y + 3)^2 - 9) + z^2 = 36. \]
Приведем подобные:
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 - 13 = 36, \]
что упрощается до:
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 49. \]
- Вычислим центр и радиус:
Теперь у нас уравнение в стандартном виде.
- Центр сферы: \((x_0, y_0, z_0) = (2, -3, 0)\).
- Радиус \(r\) равен \(\sqrt{49} = 7\).
Таким образом, координаты центра сферы: \((2, -3, 0)\), а радиус равен \(7\).
