Реши уравнение, используя для удобства введение новой переменной: ( 2 x 2 − 10 x − 20 ) ( x 2 − 5 x − 18 ) + 32 = 0 (2x 2 −10x−20)(x 2 −5x−18)+32=0 . Запиши в каждое поле ответа…
Реши уравнение, используя для удобства введение новой переменной: ( 2 x 2 − 10 x − 20 ) ( x 2 − 5 x − 18 ) + 32 = 0 (2x 2 −10x−20)(x 2 −5x−18)+32=0. Запиши в каждое поле ответа верное число в порядке возрастания. x 1 = x 1 = x 2 = x 2 =
Чтобы решить уравнение \((2x^2 - 10x - 20)(x^2 - 5x - 18) + 32 = 0\), мы можем ввести новую переменную для упрощения. Давайте обозначим \(y = x^2 - 5x\). Тогда у нас будет:
Перепишем первый множитель: \[ 2x^2 - 10x - 20 = 2(x^2 - 5x - 10) = 2(y - 10) \]
Второй множитель в обозначении: \[ x^2 - 5x - 18 = y - 18 \]
Теперь подставим всё это в исходное уравнение:
\[ (2(y - 10))(y - 18) + 32 = 0 \]
Упростим полученное уравнение:
\[ 2(y - 10)(y - 18) + 32 = 0 \] \[ 2(y^2 - 28y + 180) + 32 = 0 \] \[ 2y^2 - 56y + 360 + 32 = 0 \] \[ 2y^2 - 56y + 392 = 0 \]
Теперь разделим всё на 2:
\[ y^2 - 28y + 196 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196 = 784 - 784 = 0 \]
Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:
\[ y = \frac{-b}{2a} = \frac{28}{2} = 14 \]
Теперь вернемся к переменной \(x\):
\[ x^2 - 5x = 14 \] \[ x^2 - 5x - 14 = 0 \]
Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]
Теперь найдём два корня:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = -2, \quad x_2 = 7 \]
Теперь запишем ответ:
\[ x_1 = -2 \] \[ x_2 = 7 \]
