1. У гнома было несколько самоцветы. Половину всех самоцветы и ещё один самоцветы он спрятал в сундук. Потом половину остатка и ещё один самоцветы отдал бригадира. Оставшиеся 8…
1. У гнома было несколько самоцветы. Половину всех самоцветы и ещё один самоцветы он спрятал в сундук. Потом половину остатка и ещё один самоцветы отдал бригадира. Оставшиеся 8 самоцветы он подарил своим детишкам. Сколько самоцветы было у гнома? 2. Кира нарисовала на клеточном листе квадрат по линиям сетки и закрасить клетки квадрата, прилегающей к его сторонам. Закрашенных клеток оказалось 24. Сколько всего клеток в этом квадрате? 3. На каждой странице книги номер этой страницы. Для записи этих номеров использовано 888 цифр. Сколько страниц в этой книге? 4. На парковке стоят велосипеды : двухколёсные, трёхколёсные и четырёхколёсные. всего у них 10 рублей и 33 колеса. Сколько может быть четырёхколёсных велосипедов, если их меньше, чем трёхколёсных? 5. Грифон - это мифологическое существо с туловищем льва и головой и крыльями орла. В книге нарисованы существа : грифоны, львы и орлы. Всего у них 20 голов, 36 крыльев и 60 лап. Сколько среди них грифонов? 6. Поезд проезжает мимо другого такого же поезда ( но стоящего ) за четыре минуты. Навстречу ему с той же стокоростью едет поезд, который вдвое длиннее. За сколько минут они проедут мимо друг друга? 7. Джинн и Ифрит строят города. Джинн каждую секунду добавляет в своём городе одно новое здание. Иврит каждую секунду или добавляет новое здание в своём городе, или разрушает здание в городе Джинна. Через три минуты после начала строительства в городе Джинна было 88 зданий. Сколько зданий в этот момент было в городе Ифрита? 8. В некотором государстве из каждого города выходит четыре дороги. Каждая дорога соединяет два города. Всего дорог 7200. Сколько все городов в этом государстве? 9. В квадрате проверено два отрезка. Кирилл разрезал квадрат по этим отрезкам и получил четыре части, две из которых оказались квадратами разного размера. Площадь одной неквадратной равна 8, периметр другой - 12. Найдите площадь исходного квадрата.
- Пусть \( x \) — это количество самоцветов у гнома. Он спрятал половину всех самоцветов и ещё один, то есть:
\[ \frac{x}{2} + 1 \]
Остаток после этого:
\[ x - \left( \frac{x}{2} + 1 \right) = \frac{x}{2} - 1 \]
Затем он отдал половину остатка и ещё один самоцвет:
\[ \frac{ \frac{x}{2} - 1 }{2} + 1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \]
Остаток будет:
\[ \frac{x}{2} - 1 - \left( \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{x}{2} - 1 - \frac{x}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2x}{4} - \frac{x}{4} - \frac{3}{2} = \frac{x}{4} - \frac{3}{2} \]
Осталось 8 самоцветов:
\[ \frac{x}{4} - \frac{3}{2} = 8 \]
Прибавим \( \frac{3}{2} \) к обеим сторонам уравнения:
\[ \frac{x}{4} = 8 + \frac{3}{2} = 8 + 1.5 = 9.5 \]
Умножим обе стороны на 4:
\[ x = 4 \cdot 9.5 = 38 \]
Так что у гнома было 38 самоцветов.
- Пусть длина стороны квадрата равна \( n \). В маленьком квадрате \( n \times n \) всего клеток будет \( n^2 \). Закрашенные клетки равны клеткам, прилегающим к сторонам.
Закрашенные клетки на каждой стороне:
- 4 клетки (которые углы не считаем дважды на 4 стороны) = 4 (по 1 клетке на угол)
- 1 + (n-2) + 1 + (n-2) = 2n - 2
Общее количество закрашенных клеток:
\[ 4 + 2(n-2) = 2n \]
У нас есть информация, что закрашенных клеток 24:
\[ 2n = 24 \implies n = 12 \]
Общее количество клеток:
\[ n^2 = 12^2 = 144 \]
В квадрате 144 клетки.
- Пусть \( n \) — количество страниц в книге. Страницы с 1 по 9 используют 1 цифру, а с 10 по 99 используют 2 цифры, а с 100 и выше — 3 цифры.
Сначала сосчитаем:
Страницы от 1 до 9: \( 9 \) страниц \( \implies 9 \) цифр.
Страницы от 10 до 99:
\[ 90 \text{ страниц} \times 2 \text{ цифры} = 180 \text{ цифр} \]
Тогда для страниц до 99 всего используем 189 цифр. Нам требуется только 888 цифр.
Так что:
Для страниц 100 и выше:
\[ 888 - 189 = 699 \]
Каждая страница требует 3 цифры:
\[ \frac{699}{3} = 233 \]
Общее количество страниц:
\[ 99 + 233 = 332 \]
Так что количество страниц в книге 332.
- Обозначим:
- \( x \) — количество двухколёсных,
- \( y \) — количество трёхколёсных,
- \( z \) — количество четырёхколёсных.
У нас есть система уравнений:
- \( x + y + z = 10 \)
- \( 2x + 3y + 4z = 33 \)
Из первого уравнения выразим \( z \):
\[ z = 10 - x - y \]
Подставим во второе уравнение:
\[ 2x + 3y + 4(10 - x - y) = 33 \] \[ 2x + 3y + 40 - 4x - 4y = 33 \] \[ -2x - y + 40 = 33 \implies -2x - y = -7 \implies 2x + y = 7 \quad (1) \]
Теперь у нас:
\[ \begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \]
Из второго уравнения выразим \( y \):
\[ y = 7 - 2x \]
Подставляем в первое:
\[ x + (7 - 2x) + z = 10 \implies -x + 7 + z = 10 \implies z = x + 3 \]
С учетом ограничений (\( z < y \)):
\[ x + 3 < 7 - 2x \implies 3x < 4 \implies x < \frac{4}{3} \]
Так как \( x \) — целое, \( x \) может быть 0, 1 или 2. Проверим каждый:
- Если \( x = 0 \): \( y = 7 \), \( z = 3 \) (не подходит, \( z=3 \) не меньше \( y=7 \)).
- Если \( x = 1 \): \( y = 5 \), \( z = 4 \) (подходит, но \( z \not< y \)).
- Если \( x = 2 \): \( y = 3 \), \( z = 5 \) (подходит).
С учётом условия \( z < y \), \( z \) может быть 4.
- Пусть:
- \( g \) — количество грифонов,
- \( l \) — количество львов,
- \( o \) — количество орлов.
У нас есть система уравнений:
- \( g + l + o = 20 \) (по головам);
- \( g + 0 + 2o = 36 \) (по крыльям, так как у львов нет крыльев);
- \( 4g + 4l + 2o = 60 \) (по лапам, 4 лапы у грифонов и львов, и 2 у орлов).
Из второго уравнения:
\[ g + 2o = 36 \quad (1) \]
Из третьего уравнения:
\[ 4g + 4l + 2o = 60 \implies 2g + 2l + o = 30 \quad (2) \]
Теперь выразим \( o \) из (2):
\[ o = 30 - 2g - 2l \quad (3) \]
Подставляем в (1):
\[ g + 2(30 - 2g - 2l) = 36 \] \[ g + 60 - 4g - 4l = 36 \] \[ -3g - 4l = -24 \implies 3g + 4l = 24 \quad (4) \]
Теперь у нас система:
- \( g + l + o = 20 \)
- \( 3g + 4l = 24 \)
Сначала выразим \( o \):
\[ o = 20 - g - l \]
Теперь подставим в (4):
\[ 3g + 4(20 - g - o) = 24 \]
Таким образом, решая эту систему, мы видим, что мы можем получить различные решения.
Но лучше комбинировать и подставлять, чтобы найти количество грифонов.
Итак, в результате решения, можно получить 12 грифонов.
- Поезда проезжают мимо друг друга. Первый поезд проезжает 4 минуты, пока мимо стоит второй.
Далее, второй поезд вдвое длиннее:
Пусть длина первого поезда будет \( L \), тогда второй будет \( 2L \).
Скорость каждого поезда \( v \). Время, за которое проходит первый поезд:
\[ \text{Время} = \frac{L + 2L}{v + v} = \frac{3L}{2v} \]
Или, если время первого поезда 4 минуты:
\[ v(4) = 12L = 3L \]
Соответственно, поезда проезжают мимо друг друга за:
\[ 4 \; \text{минуты} + 4 \; \text{минуты} = 8 \; \text{минут} \]
Ответ: они проедут мимо друг друга за 8 минут.
- Джинн каждую секунду добавляет одно здание, Ифрит либо добавляет, либо разрушает.
После 3 минут (180 секунд) в здании Джинна 88.
Допустим, \( x \) — здания, добавленные Ифритом, а \( y \) — разрушенные.
Итак, у Джинна:
\[ 88 = 180 - y + x \]
Находим \( y + x\):
\[ y - x = 180 - 88 = 92 \quad (1) \]
Итак, у нас 2 уравнения:
- \( y + x = 180 \)
- \( y - x = 92 \)
Сложим и выразим \( y \):
\[ 2y = 272 \implies y = 136 \]
Теперь подставим в \( y + x = 180 \):
\[ 136 + x = 180 \implies x = 44 \]
Таким образом, в момент через 3 минуты, деревянные здания:
44 здания у Ифрита.
- Пусть \( n \) — количество городов. Каждый город соединен четырьмя дорогами:
Количество дорог можно выразить через количество пар городов:
\[ \text{Дорога} = \frac{4n}{2} \]
Мы имеем 7200 дорог. С учетом каждого соединения считается дважды:
\[ 4n = 7200 \implies n = 1800. \]
Итак, всего 1800 городов.
- На области площади 8 периметром 12.
Площадь квадратов:
- Пусть стороны квадратов \( a \) и \( b \). Мы имеем \( a^2 + b^2 + 8 = S \).
Свойства квадрата:
\[ S = a^2 + b^2, \] в данной задаче \((a + b)^2 = P = 12\),
С учётом данного уравнения, мы можем четко составить уравнение на площади.
При раскладке:
\[ S = \frac{S}{2} \implies 8 = S - 24 \]
Таким образом, площадь поиска равна
\[ \left( \sqrt{12} \cdot \sqrt{8}. \right)^2 = S = 32. \]
Таким образом, площадь исходного квадрата будет 32.
