Есть две урны. В первой 1 белый шар и 9 черных, во второй 2 белых и 3 черных. Катя выбирает случайную урну, при чем первая урна ей нравится в два раза больше чем вторая, поэтому шанс её выбрать в два раза больше. После этого она тянет из урны случайный шар. Вам известно, что Катя достала белый шар. Какова вероятность, что она выбрала первую урну?

Question 1

Задача Задача №2258352

А

Аноним

16 ноября 2024 14:32 · публичный вопрос

А

Аноним 16 ноября 2024 14:32

Есть две урны. В первой 1 белый шар и 9 черных, во второй 2 белых и 3 черных. Катя выбирает случайную урну, при чем первая урна ей нравится в два раза больше чем вторая, поэтому шанс её выбрать в два раза больше. После этого она тянет из урны случайный шар. Вам известно, что Катя достала белый шар. Какова вероятность, что она выбрала первую урну?

Answer

Давайте решим эту задачу, используя теорему Байеса, которая поможет нам найти вероятность того, что Катя выбрала первую урну, при условии что она достала белый шар.

Обозначим события:
- \( A_1 \): Катя выбрала первую урну.
- \( A_2 \): Катя выбрала вторую урну.
- \( B \): Катя достала белый шар.
Вероятности выбора урн: Так как Катя предпочитает первую урну в два раза больше, чем вторую, можно задать вероятности выбора урн следующим образом: \[ P(A_1) = \frac{2}{3}, \quad P(A_2) = \frac{1}{3} \]
Вероятности вытаскивания белого шара:
- Из первой урны (где 1 белый и 9 черных): \[ P(B | A_1) = \frac{1}{10} \]
- Из второй урны (где 2 белых и 3 черных): \[ P(B | A_2) = \frac{2}{5} \]
Общая вероятность достать белый шар: Теперь мы можем найти общую вероятность того, что Катя достала белый шар, используя формулу полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \]

Подставим значения: \[ P(B) = \left( \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \right) \] \[ P(B) = \frac{2}{30} + \frac{2}{15} \]

Приведем к общему знаменателю (30): \[ P(B) = \frac{2}{30} + \frac{4}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \]
Теперь найдем вероятность того, что она выбрала первую урну, если достала белый шар: Используем формулу Байеса: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]

Подставим известные значения: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)}{\frac{1}{5}} \] \[ P(A_1 | B) = \frac{\frac{2}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{2}{30} \cdot 5 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, вероятность того, что Катя выбрала первую урну, если она достала белый шар, составляет \(\frac{1}{3}\).

Question 2

Есть две урны. В первой 1 белый шар и 9 черных, во второй 2 белых и 3 черных. Катя выбирает случайную урну, при чем первая урна ей нравится в два раза больше чем вторая, поэтому шанс её выбрать в два раза больше. После этого она тянет из урны случайный шар. Вам известно, что Катя достала белый шар. Какова вероятность, что она выбрала первую урну?

Answer

Давайте решим эту задачу, используя теорему Байеса, которая поможет нам найти вероятность того, что Катя выбрала первую урну, при условии что она достала белый шар. 1. **Обозначим события**: - \( A_1 \): Катя выбрала первую урну. - \( A_2 \): Катя выбрала вторую урну. - \( B \): Катя достала белый шар. 2. **Вероятности выбора урн**: Так как Катя предпочитает первую урну в два раза больше, чем вторую, можно задать вероятности выбора урн следующим образом: \[ P(A_1) = \frac{2}{3}, \quad P(A_2) = \frac{1}{3} \] 3. **Вероятности вытаскивания белого шара**: - Из первой урны (где 1 белый и 9 черных): \[ P(B | A_1) = \frac{1}{10} \] - Из второй урны (где 2 белых и 3 черных): \[ P(B | A_2) = \frac{2}{5} \] 4. **Общая вероятность достать белый шар**: Теперь мы можем найти общую вероятность того, что Катя достала белый шар, используя формулу полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \] Подставим значения: \[ P(B) = \left( \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \right) \] \[ P(B) = \frac{2}{30} + \frac{2}{15} \] Приведем к общему знаменателю (30): \[ P(B) = \frac{2}{30} + \frac{4}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \] 5. **Теперь найдем вероятность того, что она выбрала первую урну, если достала белый шар**: Используем формулу Байеса: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \] Подставим известные значения: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)}{\frac{1}{5}} \] \[ P(A_1 | B) = \frac{\frac{2}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{2}{30} \cdot 5 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \] Таким образом, вероятность того, что Катя выбрала первую урну, если она достала белый шар, составляет \(\frac{1}{3}\).