Дана матрица A=(8−75−45375)A=8557-7-435. Вычислить три нормы матрицы.
Чтобы вычислить три нормы матрицы \( A \), давайте сначала запишем её:
\[ A = \begin{pmatrix} 8 & -7 \\ -4 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} \]
Фробениусова норма (\( ||A||_F \)): Эта норма определяется как квадратный корень из суммы квадратов всех элементов матрицы. Для нашей матрицы это будет:
\[ ||A||_F = \sqrt{8^2 + (-7)^2 + (-4)^2 + 3^2 + 7^2 + 5^2} \] Вычислим:
\[ ||A||_F = \sqrt{64 + 49 + 16 + 9 + 49 + 25} = \sqrt{212} \approx 14.58 \]
1-норма (\( ||A||_1 \)): 1-норма матрицы определяется как максимальная сумма абсолютных значений элементов в любом столбце. Посчитаем суммы по столбцам:
- Первый столбец: \( |8| + |-4| + |7| = 8 + 4 + 7 = 19 \)
- Второй столбец: \( |-7| + |3| + |5| = 7 + 3 + 5 = 15 \)
Таким образом, 1-норма будет:
\[ ||A||_1 = \max(19, 15) = 19 \]
∞-норма (\( ||A||_\infty \)): ∞-норма матрицы определяется как максимальная сумма абсолютных значений элементов в любом ряду. Посчитаем суммы по строкам:
- Первая строка: \( |8| + |-7| = 8 + 7 = 15 \)
- Вторая строка: \( |-4| + |3| = 4 + 3 = 7 \)
- Третья строка: \( |7| + |5| = 7 + 5 = 12 \)
Таким образом, ∞-норма будет:
\[ ||A||_\infty = \max(15, 7, 12) = 15 \]
В итоге, мы вычислили три нормы матрицы \( A \):
- Фробениусова норма \( ||A||_F \approx 14.58 \)
- 1-норма \( ||A||_1 = 19 \)
- ∞-норма \( ||A||_\infty = 15 \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или непонятные моменты, не стесняйтесь спрашивать!
