Дана матрица A=(8557 -7 - 4 3 5). Вычислить три нормы матрицы. Oтвет

Для вычисления норм матрицы A, представленной в виде:

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 5 & 7 \\ -7 & -4 & 3 & 5 \end{pmatrix} \]

мы будем определять три основные нормы: норму Фробениуса, 1-норму и ∞-норму.

1. Норма Фробениуса определяется как квадратный корень из суммы квадратов всех элементов матрицы. Для нашей матрицы это будет:

\[ \|A\|_F = \sqrt{\sum_{i,j} |a_{ij}|^2} = \sqrt{8^2 + 5^2 + 5^2 + 7^2 + (-7)^2 + (-4)^2 + 3^2 + 5^2} \] \[ = \sqrt{64 + 25 + 25 + 49 + 49 + 16 + 9 + 25} = \sqrt{262} \approx 16.186 \]

2. 1-норма (норма по столбцам) матрицы - это максимальная сумма абсолютных значений элементов в каждом столбце. Рассчитываем сумму по столбцам:

• 1-й столбец: \( |8| + |-7| = 8 + 7 = 15 \)
• 2-й столбец: \( |5| + |-4| = 5 + 4 = 9 \)
• 3-й столбец: \( |5| + |3| = 5 + 3 = 8 \)
• 4-й столбец: \( |7| + |5| = 7 + 5 = 12 \)

Максимальная сумма: \( \max(15, 9, 8, 12) = 15 \).

Таким образом, 1-норма равна \( \|A\|_1 = 15 \).

3. ∞-норма (норма по строкам) - это максимальная сумма абсолютных значений элементов в каждой строке. Рассчитаем суммы по строкам:

• 1-я строка: \( |8| + |5| + |5| + |7| = 8 + 5 + 5 + 7 = 25 \)
• 2-я строка: \( |-7| + |-4| + |3| + |5| = 7 + 4 + 3 + 5 = 19 \)

Максимальная сумма: \( \max(25, 19) = 25 \).

Таким образом, ∞-норма равна \( \|A\|_{\infty} = 25 \).

В итоге, результаты вычислений следующие:

• Норма Фробениуса \( \|A\|_F \approx 16.186 \)
• 1-норма \( \|A\|_1 = 15 \)
• ∞-норма \( \|A\|_{\infty} = 25 \)