от пристани А по направлению к пристани В отошёл катер. Через пол часа от той же пристани в том же направлении отошла моторная лодка, скорость которой на 6 км в час больше…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим скорость катера как \( v \) км/ч. Тогда скорость моторной лодки будет \( v + 6 \) км/ч.

Сначала определим время, за которое катер и лодка плывут до пристани В.

1. Время движения катера: Поскольку катер отошел на полчаса раньше, то время, за которое он доплывает до пристани В, равно: \[ t_{катер} = \frac{90}{v} \]

2. Время движения моторной лодки: Моторная лодка вышла через полчаса после катера, следовательно, время, за которое она доплывает до пристани В, будет: \[ t_{лодка} = \frac{90}{v + 6} \]

3. Условие задачи: Обе лодки прибывают в одно и то же время, следовательно, их времена равны: \[ t_{катер} = t_{лодка} + 0.5 \] Подставим выражения для времени: \[ \frac{90}{v} = \frac{90}{v + 6} + 0.5 \]

4. Умножим уравнение на \( v(v + 6) \) для избавления от дробей: \[ 90(v + 6) = 90v + 0.5v(v + 6) \]

5. Раскроем скобки: \[ 90v + 540 = 90v + 0.5v^2 + 3v \]

6. Сократим одинаковые части: \[ 540 = 0.5v^2 + 3v \]

7. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 0.5v^2 + 3v - 540 = 0 \]

8. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ v^2 + 6v - 1080 = 0 \]

9. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант \( D \) равен: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 36 + 4320 = 4356 \] Теперь найдём корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{4356}}{2} \] Площадь \( \sqrt{4356} = 66 \), следовательно: \[ v = \frac{-6 + 66}{2} = \frac{60}{2} = 30 \quad \text{(положительное решение)} \] \[ v = \frac{-6 - 66}{2} \quad \text{(отрицательное решение, не имеет смысла)} \]

Итак, скорость катера \( v = 30 \) км/ч.

Теперь можем также узнать скорость моторной лодки: \[ v + 6 = 30 + 6 = 36 \text{ км/ч.} \]

Таким образом, скорость катера равна 30 км/ч.