Игрок в дартс кидает дротики в мишень. В финальной игре у него всего 5 попыток. Чтобы стать лидером соревнований, нужно попасть в мишень 3 раза. Найти вероятность того, что игрок станет лидером после своей игры, если вероятность его попадания в мишень 0,8.
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. У нас есть 5 попыток (n = 5) и вероятность успешного попадания в мишень в каждой попытке (p = 0,8). Нам нужно найти вероятность того, что игрок попадёт в мишень как минимум 3 раза.
Сначала определим вероятность того, что игрок попадёт в мишень ровно k раз, используя формулу биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (число сочетаний), который можно выразить как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- \( p \) — вероятность успеха (0,8)
- \( n \) — общее число попыток (5)
- \( k \) — количество успешных попаданий.
В нашем случае мы будем считать вероятность того, что игрок попадёт в мишень 3, 4 или 5 раз:
- Вероятность попадания ровно 3 раза:
\[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2 \]
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 \]
\[ P(X = 3) = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2 = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 0,2048 \]
- Вероятность попадания ровно 4 раза:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^1 \]
\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5 \]
\[ P(X = 4) = 5 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2) = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 0,4096 \]
- Вероятность попадания ровно 5 раз:
\[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^0 \]
\[ C(5, 5) = 1 \]
\[ P(X = 5) = 1 \cdot (0,8)^5 = 0,32768 \]
Теперь сложим все эти вероятности, чтобы найти общую вероятность того, что игрок попадёт в мишень 3, 4 или 5 раз:
\[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]
\[ P(X \geq 3) = 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,94208 \]
Таким образом, вероятность того, что игрок станет лидером соревнований, составляет примерно 0,94208 или 94,21%.
