про арифметическую прогрессию известно что a3+a13=6. найдите сумму первых пятнадцати членов этой прогресии

Чтобы решить вашу задачу, давайте вспомним основные свойства арифметической прогрессии.

В арифметической прогрессии каждый следующий член определяется как предыдущий член плюс постоянная разность \(d\). Если обозначить первый член прогрессии как \(a_1\), тогда:

• Третий член \(a_3 = a_1 + 2d\)
• Тринадцатый член \(a_{13} = a_1 + 12d\)

По условию задачи у нас есть уравнение: \[ a_3 + a_{13} = 6 \] Подставим выражения для \(a_3\) и \(a_{13}\): \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 12d) = 6 \]

Преобразуем: \[ 2a_1 + 14d = 6 \] Или: \[ a_1 + 7d = 3 \quad (1) \]

Теперь нам нужно найти сумму первых 15 членов арифметической прогрессии. Сумма \(S_n\) первых \(n\) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] где \(a_n\) — \(n\)-й член прогрессии.

Первый член: \[ a_1 \]

Пятнадцатый член: \[ a_{15} = a_1 + 14d \]

Согласно формуле, сумма первых 15 членов будет равна: \[ S_{15} = \frac{15}{2} (a_1 + a_{15}) = \frac{15}{2} (a_1 + (a_1 + 14d)) = \frac{15}{2} (2a_1 + 14d) \] Упрощаем: \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 2(a_1 + 7d) = 15(a_1 + 7d) \]

Теперь подставим значение из уравнения (1): \[ S_{15} = 15 \cdot 3 = 45 \]

Таким образом, сумма первых 15 членов арифметической прогрессии равна 45.