Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: a) M (-3; 5), N (7; -3)
Чтобы найти уравнение окружности с диаметром, заданным двумя точками M и N, сначала нужно найти центр окружности, который будет серединой отрезка MN, а затем радиус, который равен половине длины отрезка MN.
- Находим координаты центра окружности (C):
\[ C_x = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ C_y = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Таким образом, центр окружности C(2, 1).
- Находим радиус окружности (r):
Сначала вычислим длину отрезка MN по формуле расстояния:
\[ d = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(7 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(7 + 3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]
Радиус будет равен половине этой длины:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{41}}{2} = \sqrt{41} \]
- Записываем уравнение окружности. Уравнение окружности с центром \(C(x_0, y_0)\) и радиусом \(r\) в декартовой системе координат имеет вид:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Подставляем \(C(2, 1)\) и \(r = \sqrt{41}\):
\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{41})^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41 \]
Таким образом, уравнение окружности с диаметром MN:
\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41 \]
