найдите область значения функции y=x2-2x-3 где x 0,3
Чтобы найти область значений функции \( y = x^2 - 2x - 3 \) при условии, что \( x \) находится в пределах от 0 до 3, необходимо сначала определить, каким значением может принимать функция \( y \) в этом диапазоне.
Найдем значения функции в крайних точках интервала:
- Подставим \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \]
- Подставим \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \]
Определим, является ли функция возрастающей или убывающей в заданном интервале. Для этого найдем производную: \[ y' = 2x - 2 \] Найдем точку, где производная равна нулю: \[ 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
Теперь проверим знак производной в интервалах \( (0, 1) \) и \( (1, 3) \):
- Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 2(0) - 2 = -2 \) (уменьшается).
- Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y' = 2(2) - 2 = 2 \) (увеличивается).
Это говорит о том, что функция убывает на интервале \( [0, 1] \) и возрастает на интервале \( [1, 3] \).
Теперь определим значения функции в точке максимума/минимума: минимальное значение \( y \) достигается в \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \]
Объединим все полученные значения: при \( x = 0 \) значение \( y = -3 \), при \( x = 1 \) значение \( y = -4 \), и при \( x = 3 \) значение \( y = 0 \).
Таким образом, функция \( y \) меняет значение от \(-4\) до \(0\), следовательно, область значений функции \( y = x^2 - 2x - 3 \) при \( x \) от \( 0 \) до \( 3 \) равна: \[ [-4, 0] \]
