Определи в градусах, под каким углом касательная к графику функции f ( x ) = 4 x 2 + 8 f(x)=4x 2 +8 в точке с абсциссой x = 3 24 x= 24 3 пересекает ось O x Ox .
Для определения угла, под которым касательная к графику функции \( f(x) = 4x^2 + 8 \) пересекает ось \( O_x \) в точке с абсциссой \( x = 3 \), нам нужно выполнить несколько шагов.
Найдем значение функции в данной точке: \[ f(3) = 4(3^2) + 8 = 4 \cdot 9 + 8 = 36 + 8 = 44. \] Таким образом, точка на графике будет (3, 44).
Найдем производную функции для определения углового коэффициента касательной: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 + 8) = 8x. \] Теперь подставим \( x = 3 \): \[ f'(3) = 8 \cdot 3 = 24. \]
Угловой коэффициент касательной в точке \( x = 3 \) равен 24.
Найдём угол наклона касательной: Угол наклона \( \theta \) определяется через тангенс угла: \[ \tan(\theta) = m, \] где \( m \) - угловой коэффициент касательной. В нашем случае: \[ \tan(\theta) = 24. \]
Для нахождения угла \( \theta \) воспользуемся арктангенсом: \[ \theta = \arctan(24). \] Теперь вычислим значение: \[ \theta \approx 87.6^\circ. \]
Таким образом, угол, под которым касательная к графику функции \( f(x) \) пересекает ось \( O_x \) в точке с абсциссой \( x = 3 \), составляет примерно \( 87.6^\circ \).
