Два шарика одинаковой массы движутся навстречу друг другу со скоростями 2 м/с и 3 м/с. Каковы будут скорости шариков после упругого столкновения?

Чтобы решить задачу о упругом столкновении двух шариков одинаковой массы, нужно использовать закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Пусть:

• Масса первого шарика \( m_1 = m \), скорость \( v_1 = 2 \, \text{м/с} \) (вправо).
• Масса второго шарика \( m_2 = m \), скорость \( v_2 = -3 \, \text{м/с} \) (влево, поэтому скорость отрицательная).

1. Закон сохранения импульса:

Импульс до столкновения равен импульсу после столкновения:

\[ m \cdot v_1 + m \cdot v_2 = m \cdot v_1' + m \cdot v_2' \]

Подставим известные значения:

\[ m \cdot 2 + m \cdot (-3) = m \cdot v_1' + m \cdot v_2' \]

Упрощаем уравнение (разделив на \( m \)):

\[ 2 - 3 = v_1' + v_2' \]

\[ -1 = v_1' + v_2' \quad (1) \]

2. Закон сохранения кинетической энергии:

Кинетическая энергия до столкновения равна кинетической энергии после столкновения:

\[ \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m v_1'^2 + \frac{1}{2} m v_2'^2 \]

Сокращаем \( \frac{1}{2} m \):

\[ v_1^2 + v_2^2 = v_1'^2 + v_2'^2 \]

Подставляем значения:

\[ 2^2 + (-3)^2 = v_1'^2 + v_2'^2 \]

\[ 4 + 9 = v_1'^2 + v_2'^2 \]

\[ 13 = v_1'^2 + v_2'^2 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( v_1' + v_2' = -1 \)
2. \( v_1'^2 + v_2'^2 = 13 \)

Из первого уравнения выразим \( v_2' \):

\[ v_2' = -1 - v_1' \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ v_1'^2 + (-1 - v_1')^2 = 13 \]

Раскроем скобки:

\[ v_1'^2 + (1 + 2v_1' + v_1'^2) = 13 \]

Соберем подобные члены:

\[ 2v_1'^2 + 2v_1' + 1 = 13 \]

Упростим:

\[ 2v_1'^2 + 2v_1' - 12 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ v_1'^2 + v_1' - 6 = 0 \]

Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:

\[ v_1' = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем два возможных значения:

1. \( v_1' = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( v_1' = \frac{-6}{2} = -3 \)

Подставим \( v_1' = 2 \) в первое уравнение для нахождения \( v_2' \):

\[ v_2' = -1 - 2 = -3 \]

И подставим \( v_1' = -3 \):

\[ v_2' = -1 - (-3) = 2 \]

Итак, после упругого столкновения скорости шариков будут следующие:

• Первый шарик: \( v_1' = -3 \, \text{м/с} \) (движется влево).
• Второй шарик: \( v_2' = 2 \, \text{м/с} \) (движется вправо).

Таким образом, скорости шариков после столкновения: один шарик будет двигаться влево со скоростью 3 м/с, а другой — вправо со скоростью 2 м/с.