Число называется палиндромом, если оно не изменяется при переписывании его цифр в обратном порядке (первая цифра совпадает с последней, вторая – с предпоследней и т.д.). Рассмотрим все палиндромы, лежащие между числами 1000 и 1 000 000 и не имеющие в своей записи нулей. Сколько среди них таких, произведение цифр которых имеет чётное число различных делителей?
Для анализа задачи будем рассматривать палиндромы в диапазоне от 1000 до 1 000 000, состоящие из цифр от 1 до 9 (поскольку в записи не должно быть нулей).
Палиндромы в этом диапазоне могут иметь 4, 5 или 6 цифр:
Четырехзначные палиндромы: Формат будет иметь вид \( abba \), где \( a \) и \( b \) - цифры от 1 до 9.
- \( a \) может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- \( b \) также может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- Всего \( 9 \times 9 = 81 \) палиндром.
Пятизначные палиндромы: Формат будет иметь вид \( abcba \).
- \( a \) может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- \( b \) может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- \( c \) может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- Всего \( 9 \times 9 \times 9 = 729 \) палиндром.
Шестизначные палиндромы: Формат будет иметь вид \( abccba \).
- \( a \) может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- \( b \) может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- \( c \) может принимать 9 значений (от 1 до 9).
- Всего \( 9 \times 9 \times 9 = 729 \) палиндром.
Теперь нам нужно рассчитать количество тех палиндромов, для которых произведение их цифр имеет четное число различных делителей.
Число имеет четное количество делителей, если оно не является полным квадратом, так как у полного квадрата всегда нечётное количество делителей (включая средний делитель).
Произведение цифр может быть представлено в виде \( P = a^p \cdot b^q \cdot c^r \), где \( p \), \( q \), \( r \) - степени цифр \( a \), \( b \), и \( c \) в разложении на множители. Чтобы \( P \) не было полным квадратом, хотя бы одна из степеней \( p \), \( q \), или \( r \) должна быть нечётной.
Для каждой из категорий палиндромов мы будем искать такие комбинации:
Четырёхзначные палиндромы \( abba \):
- \( P = a^2 \cdot b^2 \)
- \( p = 2, q = 2 \) - это полный квадрат. Таким образом, нет палиндромов, произведение цифр которых имеет четное количество делителей.
Пятизначные палиндромы \( abcba \):
\( P = a^2 \cdot b^2 \cdot c^1 \)
Здесь всегда \( a \) и \( b \) имеют чёткие степени, а \( c \) - нечётную. Поэтому, все такие палиндромы приводят к четному числу делителей.
В результате, количество 729 пятизначных палиндромов соответствует .
Шестизначные палиндромы \( abccba \):
- \( P = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 \)
- Все степени четны, следовательно, также не будет полных квадратов.
Теперь объединим все результаты:
- Четырехзначные: 0
- Пятизначные: 729
- Шестизначные: 0
Отсюда, общее количество палиндромов между 1000 и 1 000 000, для которых произведение цифр имеет четное количество различных делителей, равно 729.
