10. Шесть девушек и три юноши хотят встать в хоровод так, чтобы никакие два юноши не стояли рядом. Сколько способов так встать у них есть? (Каждый человек - личность: все юноши различны, все девушки различны). Ответ дайте в виде числа.

Чтобы решить эту задачу, сначала расположим девушек так, чтобы они образовали хоровод. Это даст нам начальную структуру, в которой мы можем разместить юношей.

1. Организация девушек в хороводе: У нас есть 6 девушек. В хороводе (комбинации, где порядок важен, но одно лицо можно считать фиксированным) количество способов расположить n человек вычисляется по формуле (n-1)!. Таким образом, для 6 девушек это будет: \[ (6 - 1)! = 5! = 120. \]

2. Вставка юношей: После того как мы расположили девушек, у нас появляется 6 мест для вставки юношей: одно место между каждой парой девушек и одно место между первой и последней девушкой. Итак, у нас 6 позиций.

3. Выбор мест: Нам нужно выбрать 3 из 6 возможных мест для размещения юношей, чтобы они не стояли рядом. Количество способов выбрать 3 места из 6 вычисляется с помощью сочетаний: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6 - 3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20. \]

4. Размещение юношей: Поскольку все юноши различны, их можно расположить в тех выбранных местах любым способом. Количество способов разместить 3 различных юноша в 3 позициях — это 3! (факториал от 3): \[ 3! = 6. \]

5. Итоговое количество способов: Теперь мы можем перемножить все эти результаты: \[ 120 \times 20 \times 6 = 14400. \]

Таким образом, общее количество способов, чтобы девушки и юноши встали в хоровод, так, чтобы никакие два юноши не стояли рядом, равно 14400.