В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС=16, sinA=15/17 Найти АВ

Чтобы найти длину стороны \( AB \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где угол \( C \) равен 90°, \( AC = 16 \) и \( \sin A = \frac{15}{17} \), воспользуемся определениями тригонометрических функций и теоремой Пифагора.

1. Определим стороны треугольника с использованием синуса угла \( A \): \[ \sin A = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \] Здесь противолежащей стороной для угла \( A \) является \( BC \), а гипотенузой – сторона \( AB \). Из условия мы знаем, что \( \sin A = \frac{15}{17} \).

   Поскольку \( AC = 16 \) является прилежащей стороной к углу \( A \), мы можем использовать косинус для вычисления \( AB \): \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

   Из тригонометрических соотношений для угла \( A \) можем найти \( \cos A \): \[ \cos^2 A + \sin^2 A = 1 \] Подставляем значение \( \sin A \): \[ \cos^2 A + \left( \frac{15}{17} \right)^2 = 1 \] \[ \cos^2 A + \frac{225}{289} = 1 \] \[ \cos^2 A = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289} \] Тогда \( \cos A = \frac{8}{17} \).

2. Теперь найдем длину гипотенузы \( AB \): Используем формулу для косинуса: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \] \[ \frac{8}{17} = \frac{16}{AB} \] Переставляем уравнение, чтобы найти \( AB \): \[ AB \cdot 8 = 16 \cdot 17 \] \[ AB \cdot 8 = 272 \] \[ AB = \frac{272}{8} = 34 \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( 34 \).