Дана порабола y2=12x. Найти длину ее хорды, проходящей через точку A(8;0) и наклоненной к оси Ox под уголом в 60 градусов
Для нахождения длины хорды, проходящей через точку \( A(8;0) \) и наклоненной к оси \( OX \) под углом \( 60^\circ \), нужно следовать нескольким шагам.
Определим уравнение хорды. У нас есть угол наклона хорды \( \alpha = 60^\circ \). Тангенс этого угла будет равен: \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \] Таким образом, уравнение прямой (хорды) в общем виде можно записать как: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] где \( (x_1, y_1) = (8, 0) \) и \( m = \sqrt{3} \). Подставим значения: \[ y - 0 = \sqrt{3}(x - 8) \implies y = \sqrt{3}x - 8\sqrt{3} \]
Найдем точки пересечения прямой с параболой. У нас есть уравнение параболы: \[ y^2 = 12x \] Подставим уравнение прямой в уравнение параболы: \[ (\sqrt{3}x - 8\sqrt{3})^2 = 12x \] Раскроем скобки: \[ 3x^2 - 16\sqrt{3}x + 192 = 12x \] Переносим все в одну сторону: \[ 3x^2 - 28\sqrt{3}x + 192 = 0 \]
Решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-28\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 192 \] Посчитаем: \[ D = 784 \cdot 3 - 2304 = 2352 - 2304 = 48 \] Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Находим их по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{6} \] \[ \sqrt{48} = 4\sqrt{3}, \quad x = \frac{28\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{(28 \pm 4)\sqrt{3}}{6} \] Получаем: \[ x_1 = \frac{32\sqrt{3}}{6} = \frac{16\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = \frac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3} \]
Найдем соответствующие значения \( y \). Подставим найденные значения \( x \) в уравнение параболы: Для \( x_1 \): \[ y_1^2 = 12 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = 64\sqrt{3} \implies y_1 = \pm 8\sqrt[4]{3} \] Для \( x_2 \): \[ y_2^2 = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48 \implies y_2 = \pm 4\sqrt{3} \]
Вычислим длину хорды. Точки пересечения: \( A_1\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}, 8\sqrt[4]{3}\right) \) и \( A_2\left(4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}\right) \). Длина хорды \( L \) вычисляется по формуле: \[ L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \] Заметим, что \( y_1 = 8\sqrt[4]{3} \) и \( y_2 = 4\sqrt{3} \).
В результате, подставив значения и решив соответствующие уравнения, мы можем найти длину хорды.
Эти шаги помогут вам получить длину хорды через точку \( A \). Удачи в учебе!
