Является ли функция y=x^p возрастающей или убывающей, если x>0, а p=2-√2?
Функция \( y = x^p \) является возрастающей или убывающей в зависимости от значения параметра \( p \). В вашем случае \( p = 2 - \sqrt{2} \).
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, мы можем рассмотреть производную функции \( y \) по \( x \). Если производная положительна, функция возрастающая; если отрицательна, функция убывающая.
Степенная функция \( y = x^p \) имеет производную:
\[ \frac{dy}{dx} = p \cdot x^{p-1}. \]
Подставим \( p = 2 - \sqrt{2} \):
\[ \frac{dy}{dx} = (2 - \sqrt{2}) \cdot x^{(2 - \sqrt{2}) - 1} = (2 - \sqrt{2}) \cdot x^{1 - \sqrt{2}}. \]
Теперь важно проанализировать знак \( (2 - \sqrt{2}) \) и \( (1 - \sqrt{2}) \).
Значение \( \sqrt{2} \) примерно равно 1.414. Тогда \( 2 - \sqrt{2} \) примерно равно \( 2 - 1.414 = 0.586 \), что положительно.
Значение \( 1 - \sqrt{2} \) будет отрицательным, так как \( 1 < \sqrt{2} \).
Таким образом, при \( x > 0 \), производная \( x^{1 - \sqrt{2}} \) будет отрицательной, поскольку \( (2 - \sqrt{2}) \) положительно умножается на отрицательное значение \( x^{1 - \sqrt{2}} \).
Следовательно, мы видим, что:
\[ \frac{dy}{dx} < 0 \quad \text{при} \; x > 0. \]
Это означает, что функция \( y = x^{2 - \sqrt{2}} \) будет убывающей для \( x > 0 \).
