Найдите градусную меру минорной дуги, стягиваемой хордой, длина которой в два раза меньше длины диаметра окружности.
Для решения этой задачи сначала нужно понять, что подразумевается под "минорной дугой", стягиваемой хордой, и как соотносятся длины хорд и дуг в окружности.
Давайте обозначим длину диаметра окружности как D. Поскольку длина хорды в два раза меньше длины диаметра, то длина хорды будет равна D/2.
Теперь вспомним, что длина хорды (C) в окружности может быть связана с радиусом (R) и углом (θ) в радианах, который она подготавливает. Формула для длины хорды выглядит следующим образом: \[ C = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]
Так как диаметр диаметра D равен 2R, мы можем выразить R как D/2. Подставляем это значение в формулу длины хорды: \[ C = D \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]
Поскольку длина хорды равна D/2, мы можем приравнять идентичные выражения: \[ D \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{D}{2} \] Упрощаем уравнение, деля обе стороны на D (предполагая D != 0): \[ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{2} \]
Теперь мы знаем, что \(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{2}\). Значение угла \(\frac{\theta}{2}\) в радианах, соответствующее данному значению синуса, равно \(\frac{\pi}{6}\) (или 30°). Удваиваем этот угол для нахождения полного угла θ: \[ \theta = 2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \]
Переведем радианы в градусы: \[ \frac{\pi}{3} \text{ радиан} = \frac{180°}{3} = 60° \]
Таким образом, градусная мера минорной дуги, стягиваемой хорда длиной, равной половине диаметра окружности, составляет 60 градусов.
