5/х^2-4+2х/х+2=2
Чтобы решить уравнение \( \frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2 \), начнем с упрощения каждого элемента.
Перепишем \( x^2 - 4 \) как разность квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). \]
Уравнение сейчас выглядит так: \[ \frac{5}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2x}{x + 2} = 2. \]
Чтобы избавиться от дробей, перемножим всё уравнение на \((x - 2)(x + 2)\): \[ 5 + 2x(x - 2) = 2(x - 2)(x + 2). \]
Раскроем скобки: \[ 5 + 2x^2 - 4x = 2(x^2 - 4). \] \[ 5 + 2x^2 - 4x = 2x^2 - 8. \]
Переносим все члены в одну сторону уравнения: \[ 5 + 2x^2 - 4x - 2x^2 + 8 = 0. \] Упрощаем: \[ -4x + 13 = 0. \]
Решаем уравнение: \[ 4x = 13 \implies x = \frac{13}{4}. \]
Теперь проверим, что значение \( x = \frac{13}{4} \) не приводит к делению на ноль в исходном уравнении. Подставляем в \( x + 2 \): \[ \frac{13}{4} + 2 = \frac{13}{4} + \frac{8}{4} = \frac{21}{4}, \] что не равно нулю. Также проверяем \( x^2 - 4 \): \[ \left(\frac{13}{4}\right)^2 - 4 = \frac{169}{16} - \frac{64}{16} = \frac{105}{16}, \] тоже не равно нулю.
Таким образом, решение уравнения: \[ x = \frac{13}{4}. \]
