Реши пример: 18^n-1/3^n+1, если 6^n=81
Для решения примера \( \frac{18^n - 1}{3^n + 1} \), если \( 6^n = 81 \), начнём с того, что мы можем выразить \( n \) из уравнения \( 6^n = 81 \).
Здесь замечаем, что \( 81 = 3^4 \) и \( 6 = 2 \cdot 3 \), тогда:
\[ 6^n = (2 \cdot 3)^n = 2^n \cdot 3^n \]
Следовательно, у нас:
\[ 2^n \cdot 3^n = 3^4 \]
Мы знаем, что \( 2^n \) и \( 3^n \) должны быть равны \( \frac{3^4}{2^n} \). Чтобы найти \( n \), логичнее переписать \( 6^n = 3^n \cdot 2^n\) и сопоставить степени.
Мы можем заметить, что:
\[ 3^n = 3^4 \text{ и так } n = 4 \]
Теперь подставим \( n = 4 \) в исходное выражение:
Находим \( 18^n \): \[ 18^4 = (2 \cdot 9)^4 = 2^4 \cdot 9^4 = 16 \cdot 6561 = 104976 \]
Находим \( 3^n \): \[ 3^4 = 81 \]
Теперь подставим всё это в наше выражение:
\[ \frac{18^4 - 1}{3^4 + 1} = \frac{104976 - 1}{81 + 1} = \frac{104975}{82} \]
Теперь выполним деление:
\[ \frac{104975}{82} \approx 1286.59 \text{ (можно округлить, если необходимо)} \]
Таким образом, значение \( \frac{18^n - 1}{3^n + 1} \) при \( n = 4 \) составляет примерно 1286.59.
