Исправившаяся Федора помыла посуду и поставила чистые тарелки в стопки. Ни в одной стопке не оказалось более 12 тарелок, а всего тарелок было 235. Докажите, что найдутся 4 стопки,…

Чтобы доказать, что найдутся 4 стопки с одинаковым количеством тарелок, используем принцип Дирихле.

Обозначим количество стопок как \( n \). Каждая стопка может содержать от 1 до 12 тарелок. Это значит, что максимальное число различных количеств тарелок, которые могут находиться в стопке, — это 12 (от 1 до 12).

Теперь, давайте распределим 235 тарелок по \( n \) стопкам, где, по условию, каждая стопка содержит не более 12 тарелок.

Если \( n \) — общее количество стопок, то максимальное количество тарелок, которое можно расположить в этих стопках, составляет \( 12n \). Поскольку у нас 235 тарелок, должно выполняться следующее неравенство:

\[ 12n \geq 235. \]

Следовательно,

\[ n \geq \frac{235}{12} \approx 19.58. \]

Таким образом, \( n \) должно быть не менее 20, то есть \( n \geq 20 \).

Теперь посчитаем общее количество возможных остатка при делении количества тарелок в стопках на 12. Остатки от деления на 12 могут принимать значения от 0 до 11, следовательно, всего существует 12 различных остатков.

Теперь применяем принцип Дирихле: так как у нас больше 20 стопок (по меньшей мере 20) и только 12 различных остатков, по крайней мере, 4 из \( n \) стопок будут иметь одинаковый остаток при делении их количества тарелок на 12. Так как каждая стопка не может быть пустой, то мы имеем в виду, что каждая из 4 выбранных стопок содержит хотя бы одну тарелку.

Таким образом, мы доказали, что среди 20 и более стопок найдётся по крайней мере 4 стопки с одинаковым количеством тарелок.