Скоростной поезд «Комета» отправляется из города N в город M. По пути поезд делает несколько остановок. Из города N выехало 2024 пассажира. На первой остановке в поезд сели 5…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество остановок, сделанных поездом, как \( x \).

Итак, начнем с количества пассажиров, которые выехали из города N:

• Исходное число пассажиров: 2024
• Пассажиры, которые садятся на первую остановку: 5
• На каждой следующей остановке на 3 пассажира больше, чем на предыдущей.

Следовательно, на \( x \)-й остановке количество пассажиров, которые сели в поезд, можно выразить как:

• Первая остановка: 5 пассажиров
• Вторая остановка: \( 5 + 3 = 8 \)
• Третья остановка: \( 8 + 3 = 11 \)
• Четвертая остановка: \( 11 + 3 = 14 \)

И так далее. Используя формулу, на \( k \)-й остановке пассажиров будет: \[ 5 + 3(k - 1) = 3k + 2 \]

Так что на остановках в целом пассажиров, которые сели в поезд: \[ S = 5 + 8 + 11 + ... + (3x + 2) \]

Это сумма арифметической прогрессии, где первый член \( a = 5 \), последний член \( l = 3x + 2 \), и количество членов \( n = x \).

Сумма арифметической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (a + l) = \frac{x}{2} (5 + (3x + 2)) = \frac{x}{2} (3x + 7) \]

При этом нужно учесть, что на каждой остановке выходит 30 пассажиров. Поэтому общее количество пассажиров в поезде после \( x \) остановок будет: \[ N = 2024 + S - 30x \]

Знаем, что в городе M прибыло 2094 пассажира, значит: \[ N = 2094 \]

Подставим выражение для \( N \): \[ 2024 + \frac{x}{2} (3x + 7) - 30x = 2094 \]

Упростим уравнение: \[ \frac{x}{2} (3x + 7) - 30x = 70 \] \[ \frac{x(3x + 7)}{2} - 30x = 70 \] Умножим на 2: \[ x(3x + 7) - 60x = 140 \] \[ 3x^2 + 7x - 60x - 140 = 0 \] \[ 3x^2 - 53x - 140 = 0 \]

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 3 \), \( b = -53 \), \( c = -140 \).

Подставим коэффициенты: \[ x = \frac{53 \pm \sqrt{(-53)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{53 \pm \sqrt{2809 + 1680}}{6} \] \[ x = \frac{53 \pm \sqrt{4489}}{6} \] \[ x = \frac{53 \pm 67}{6} \]

Решаем два случая:

1. \( x = \frac{120}{6} = 20 \)
2. \( x = \frac{-14}{6} \) (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, поезд сделал 20 остановок во время пути из города N в город M.