Петя на листке в тетради отметил несколько точек, причём любые 3 точки, не лежат на 1 прямой, затем каждые 2 точки, соединил отрезками, посчитал количество полученных отрезков…
Петя на листке в тетради отметил несколько точек, причём любые 3 точки, не лежат на 1 прямой, затем каждые 2 точки, соединил отрезками, посчитал количество полученных отрезков оказалось 7 раз больше числа точек, сколько точек отметил Петя.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Пусть \( n \) – количество точек, которые отметил Петя. Из условия задачи мы знаем, что любые три точки не лежат на одной прямой, что означает, что мы имеем общую позицию для всех точек и они образуют выпуклый многоугольник.
Количество отрезков (или соединений) между \( n \) точками можно вычислить по формуле для сочетаний из \( n \) по 2, которая обозначается как \( C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \). Эта формула означает, что мы выбираем 2 точки из \( n \) и соединяем их отрезком.
Согласно условию задачи, количество отрезков оказалось в 7 раз больше числа точек:
\[ C(n, 2) = 7n \]
Теперь подставим формулу для числа отрезков:
\[ \frac{n(n-1)}{2} = 7n \]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ n(n-1) = 14n \]
Теперь переместим все элементы в одну сторону:
\[ n^2 - 15n = 0 \]
Выделим общий множитель \( n \):
\[ n(n - 15) = 0 \]
Это уравнение имеет два решения: \( n = 0 \) и \( n = 15 \). Поскольку \( n = 0 \) не имеет смысла в данной задаче, нам остается только одно решение:
\[ n = 15 \]
Итак, Петя отметил 15 точек в своем листке.
